In einer quadratischen Gleichung ist die zweite Potenz die höchste vorkommende Potenz. Es ist eine Potenzgleichung zweiten Grades.
Beispiele von quadratischen Gleichungen in \(x\):
\[ y=x^2 \qquad y=x^2+2x+1 \qquad y=a^4x^2 \]
\[ y=-x^2+1 \qquad x^2=3 \]
Quadratische Gleichungen werden im Diagramm als Parabeln dargestellt. Parabeln sind symmetrische Kurven. Ihre vertikale Symmetrieachse geht durch den sog. Scheitelpunkt. Aufrechte Parabeln haben im Scheitelpunkt ein Minimum. Links und rechts geht die Parabel unendlich hoch. Umgekehrte Parabeln kommen von unten, finden im Scheitelpunkt ihr Maximum und tauchen dann nach rechts wieder ab. Beachte zudem, dass alle Parabeln im Scheitelpunkt horizontal sind.
Wenn wir jetzt eine Gleichung aufstellen, z.B. wir schneiden eine Parabel mit einer geraden Linie oder einer anderen Parabel, so sehen wir sofort, dass es null, eine oder zwei Lösungen geben kann. Zwei Lösungen gibt es, wenn die Parabel geschnitten wird. Eine Lösung, wenn sie in einem Punkt berührt wird. Null Lösungen, wenn z.B. die Linie an der Parabel vorbeigeht, ohne sie zu schneiden.
Quadratische Gleichungen ergeben im Diagramm Parabeln, die eine vertikale Symmetrieachse haben und deren Scheitelpunkt das Minimum oder Maximum der Funktion ist. Quadratische Gleichungen können null, eine oder zwei Lösungen haben.
Die blaue Parabel hat die Gleichung
\[ y=\frac{1}{5}x^2 + x \]
Wie erwartet, ist die grösste vorkommende Potenz \(x^2\). Wir sehen, dass der Faktor vor dem \(x^2\) eine positive Zahl ist, nämlich \(\frac{1}{5}\). Deshalb ist die Parabel aufrecht. Ausserdem ist dieser Faktor kleiner als 1. Das macht die Parabel ”breit” oder ”flach gedrückt”. Von besonderem Interesse sind die sog. Nullstellen, d.h. die Stellen, an welchen die Parabel die \(x\)-Achse schneiden. Die blaue Parabel hat die Nullstellen \(x=-5\) und \(x=0\).
Die Nullstellen können wir aber auch anders herausfinden. Wir nehmen die Gleichung der Parabel und verlangen, dass die ”Höhe” null betragen soll:
\[ y=\frac{1}{5}x^2 + x \stackrel{!}{=} 0 \]
Jetzt lösen wir die Gleichung nach \(x\) auf. Wir sehen, dass wir durch x teilen können – natürlich nur, wenn \(x \neq 0\).
\[ \frac{1}{5}x + 1 = 0 \]
Dann subtrahieren wir die 1 und multiplizieren mit 5:
\[ \frac{1}{5}x = -1 \]
\[ x=-5 \]
Jetzt haben wir eine Lösung gefunden. Für \(x=-5\) haben wir eine Nullstelle. Gehen wir nochmals zurück zur Ursprungsgleichung \(\frac{1}{5}x^2 + x = 0\). Wenn \(x=0\) ist die Gleichung erfüllt, d.h. \(x=0\) ist die zweite Lösung.
Lösungsmenge
Schauen wir uns die Abbildung genauer an. Wir sehen den Verlauf einer quadratischen Funktion (Parabel). Dann sehen wir, dass wir zwei Nullstellen bei A1 und A2 haben und einen Scheitelpunkt bei B.
Wir wissen, dass wir die Nullstellen erhalten, wenn wir die Funktion mit null gleichsetzen:
\[ y(x)=ax^2+bx+c \stackrel{!}{=} 0 \]
Wir formulieren die linke Seite um und bringen sie in die Produktform. Dabei ändern wir an ihr nichts, wir schreiben sie nur in Form eines Produkts nochmals hin, ohne, dass sich ihr Wert ändert (ähnlich, wie z.B. \(6=4+2\) in der Produktform als \(6=2 \cdot 3\) geschrieben werden kann).
\[ y(x)=d(x-x_1)(x-x_2) = 0 \]
Jetzt muss einer der Faktoren null sein, und die Gleichung ist erfüllt. Auf diese Wiese kriegen wir die beiden Nullstellen bei \(x_1\) und \(x_2\). Aber das wissen wir ja alles schon! Das Gleichsetzen mit dem Wert null ist nichts anderes als das Verlangen, dass die Parabel mit der Geraden \(y=0\) sich schneiden soll. Im Graphen sehen wir, dass das an zwei Orten der Fall ist und wir haben zwei Lösungen.\\
Wir verlangen jetzt aber, dass die Parabel mit der Höhe der grünen Geraden \(y=-1.56\) geschnitten wird. Wenn wir diese Höhe ganz genau einstellen, berühren wir die Parabel nur gerade in einem Punkt, d.h. die Gleichung…
\[ y(x)=ax^2+bx+c \stackrel{!}{=} -1.56 \]
…hat nur eine Lösung, die gleichzeitig dem Scheitelpunkt entspricht.\\
Wir gehen noch einen Schritt weiter und verlangen:
\[ y(x)=ax^2+bx+c \stackrel{!}{=} -3 \]
Die Höhe \(y=-3\) ist in der Abbildung rot eingezeichnet. Die Lösung dieser Gleichung ist die leere Menge. Es gibt keinen \(x\)-Wert, der diese Gleichung erfüllen vermag:
\[ \boldsymbol{L}=\bigl \{\;\; \bigr \} \]
Quadratische Gleichungen können 0, 1 oder 2 Lösungen haben, die den Schnittpunkten der Parabel mit einem zweiten Funktionsgraphen entspricht.
Beachte, dass wir nicht nur mit horizontalen Geraden schneiden müssen. Wir können durchaus auch mit einer allgemeinen (schrägen und verschobenen) linearen Funktion schneiden oder mit einer anderen Parabel, mit einer Potenzfunktion, Wurzelfunktion etc.
Beispiel
Untersuche die folgenden drei Gleichungen auf deren Anzahl Lösungen.
\[ (x^2-2x+1) + (-1) \;\; = \;\; 0 \qquad \text{①} \]
\[ (x^2-2x+1) + 0 \;\; = \;\; 0 \qquad \text{②} \]
\[ (x^2-2x+1) + 4 \;\; = \;\; 0 \qquad \text{③} \]
Die Gleichung ① lässt sich so umformen, dass wir links die Funktion in die Produktform bringen:
\[ x^2 – 2x + 1 – 1 \;\; = \;\; 0 \]
\[ x \cdot (x-2) \;\; = \;\; 0 \]
Wir sehen damit die Nullstellen: Es hat genau zwei, nämlich für \(x=0\) und für \(x=2\). Damit haben wir zwei Lösungen.
Für die Gleichung ② erhalten wir:
\[ (x-2)^2 \;\; = \;\; 0 \]
Sie hat deshalb nur eine Lösung bzw. eine Nullstelle, nämlich bei \(x=2\) und diese Nullstelle nennt man doppelt, weil der Faktor ja zwei Mal vorkommt:
\[ (x-2)^2 = (x-2) \cdot (x-2) \]
Die Gleichung ③ gibt uns nach ein bisschen Umformen folgendes Bild:
\[ (x-2)^2 = -4 \]
Hier erkennen wir, dass die Klammer im Quadrat eine negative Zahl ergeben muss. Das ist aber gar nicht möglich, denn alle Quadratzahlen sind immer positiv! Egal, was im Quadrat steht, egal was \(x\) ist, es wird nie und nimmer \(-4\) ergeben. Wir haben hier den Fall mit keiner Lösung.
Lösen von quadratischen Gleichungen
Quadratische Gleichungen können grundsätzlich auf drei verschiedene Arten gelöst werden:
Aufgabensammlung
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