Kinetische Energie (Bewegungsenergie)

Kinetische Energie Definition

Die kinetische Energie ist in der Geschwindigkeit von Masse begründet, unabhängig davon wie klein oder gross diese Masse ist. Sie kann so klein sein wie ein Atom oder so gross, wie z.B. ein Asteroid.

Kinetische Energie Symbol: \(E_{\text{kin}}\) (manchmal auch \(T\))

Kinetische Energie Einheit: \(\text{J}\) (Joule, übliche Einheit der Energie)

Kinetische Energie Formel (Herleitung)

Wir schauen uns ein Beispiel an: Eine Radfahrerin beschleunigt von 5 km/h auf 25 km/h. Das braucht erfahrungsgemäss ein bisschen Kraft. Diese Kraft wirkt über eine bestimmte Beschleunigungsstrecke, d.h. wir haben Kraft und Weg: die Radfahrerin muss physikalische Arbeit verrichten.

Diese Arbeit ist natürlich Beschleunigungsarbeit und was sich ändert, ist die Geschwindigkeit, d.h. die Radfahrerin hat nachher mehr Geschwindigkeit.

Die Energie, die sie im Zustand 0 hatte (vor der Beschleunigung) ändert um den Betrag der Arbeit \(W\) in den Zustand 1, den sie nach der Beschleunigung einnimmt. Die Arbeit ist die Energie, die dazu gekommen ist:

\[ W \;=\; \Delta E \;=\; E_{\text{kin},1} \;-\; E_{\text{kin},0} \]

Jetzt nehmen wir die Formel für die Beschleunigungsarbeit:

\[ W \;\;=\;\; \frac{1}{2} m v_1^2 \;-\; \frac{1}{2} m v_0^2 \]

Der Vergleich der beiden Formeln gibt uns die Formel für kinetische Energie, denn der erste Summand beschreibt den Zustand 1 und der zweite Summand den Zustand 0:

\[ E_{\text{kin},1} = \frac{1}{2} m v_1^2, \qquad E_{\text{kin},0} = \frac{1}{2} m v_0^2 \]

Egal welcher Zustand: Die Formel der kinetischen Energie ist damit:

\[ E_{\text{kin}} = \frac{1}{2} m v^2 \]

Mit der Masse \(m\) und der Geschwindigkeit \(v\) lässt sich die kinetische Energie berechnen. In unserem Beispiel:

\[ E_{\text{kin},1} = \frac{1}{2} \cdot 75\,\text{kg} \cdot \Big(\frac{25}{3.6} \, \frac{\text{m}}{\text{s}}\Big)^2 \]

Nach der Beschleunigung hat die Radfahrerin (zusammen, mit ihrem Fahrrad) folgende Menge an Bewegungsenergie gespeichert:

\[ E_{\text{kin},1} = 1’808\,\text{J} \]

Möchte sie voll abbremsen, so muss sie diese Menge an Energie wieder mit Reibungsarbeit an den Bremsen abbauen.

Beachte, dass die Geschwindigkeit \(v\) in der Formel immer relativ zu einem willkürlich gewählten Referenzsystem gemessen wird. Für die meisten Geschwindigkeiten wird die “ruhende” Erde als Referenzsystem gewählt, d.h. die Geschwindigkeit wird im Vergleich zur Erde gemessen.

Ebenfalls zu beachten ist, dass die kinetische Energie wegen des Quadrats in der Formel nie negativ sein kann. Im Gegensatz dazu kann die potenzielle Energie negative Werte annehmen.

Umwandlung von potentieller Energie in kinetische Energie

Wenn die kinetische und die potenzielle Energien die beiden wichtigsten Energieformen darstellen, sind die meisten Phänomene auf ein Zusammenspiel dieser beiden Energieformen zurückzuführen. Am einfachsten verständlich ist dies wiederum am Beispiel der Radfahrerin:

Sie lässt sich oben am Hügel aus dem Stand heraus hinunterrollen. Oben, im Zustand 0, hat sie potenzielle Energie. Beim Runterfahren verringert sie die Höhe und verliert damit potenzielle Energie.

Die Energie geht aber nicht wirklich verloren, sondern wird in kinetische Energie umgewandelt. Wie schnell kann unsere Radfahrerin dabei werden?

Wir nehmen die potenzielle Energie, die sie im Zustand 0 hat:

\[ E_{\text{pot},0} = mgh_0 \]

Unten hat sie nur noch:

\[ E_{\text{pot},1} = mgh_1 \]

Die Energiemenge, die sie von oben nach unten abgegeben hat, ist die Differenz:

\[ E_{\text{pot},0} \;-\; E_{\text{pot},1} \]

\[ mgh_0 \;-\; mgh_1 = mg \cdot (h_1 – h_0) \]

Machen wir ein Zahlenbeispiel: Sie war auf der Höhe 100 m und ist auf die Höhe 20 m herunter gefahren. Wir setzen diese Zahlen oben ein:

\[ 75\,\text{kg} \cdot 9.81\,\frac{\text{m}}{\text{s}^2} \cdot \big(100\,\text{m} – 20\,\text{m}\big) = 58’860\,\text{J} \]

Diese ganze Energie hat die Radfahrerin als potenzielle Energie verloren. Sie hat diese Energiemenge aber nicht abgegeben, sondern in kinetische Energie umgewandelt: Sie wurde schneller! 😎

Wir wissen jetzt, wie viel kinetische Energie sie hat, denn am Anfang, stand sie still (keine kinetische Energie) und jetzt hat sie 58’860 J aus potenzieller Energie erhalten.

Um daraus die Geschwindigkeit zu berechnen, müssen wir die kinetische Energie Formel umstellen:

\[ E_{\text{kin}} = \frac{1}{2} m v^2 \quad \rightarrow \quad v = \sqrt{\frac{2 E_{\text{kin}}}{m}} \]

Wir setzen ein:

\[ v = \sqrt{\frac{2 \cdot 58’860\,\text{J}}{75\,\text{kg}}} = 39.6\,\frac{\text{m}}{\text{s}} = 142.6\,\frac{\text{km}}{\text{h}} \]

Wow! Kann das sein? 😮

Ja, das ist richtig, nur haben wir keinerlei Reibung berücksichtigt und das ist leider unrealistisch. Selbst wenn sie nicht bremst, gibt es viel Luftwiderstand und auch Rollreibung, Reibung in den Radlagern etc.

Umwandlung von kinetischer Energie in potentielle Energie

Die umgekehrte Umwandlung ist auch möglich: Nämlich der Fall, in welchem die Radfahrerin den Hang hochfährt, ohne in die Pedale zu treten. Sie nutzt ihren “Schuss”, den sie hat. Sie hat kinetische Energie.

Beim Hochfahren baut sich die potenzielle Energie auf und die kinetische Energie ab.

Wie hoch kann sie kommen mit 58’860 J an Bewegungsenergie?

Da die Menge an potenzieller Energie höchstens so gross werden kann, wie die Radfahrerin anfangs in Form von kinetischer Energie hatte, können wir schreiben:

\[ E_{\text{pot},2} = E_{\text{kin},1} \]

\[ mgh_2 \;\; = \;\; E_{\text{kin},1} \]

Um die Höhe zu kriegen, dividieren wir durch \(m\) und \(g\) und setzen ein:

\[ h_2 = \frac{E_{\text{kin},1}}{mg} = \frac{58’860\,\text{J}}{75\,\text{kg}\cdot 9.81\frac{\text{m}}{\text{s}^2}} = 80\,\text{m} \]

Das sollte uns nicht überraschen!

Mit dieser Energie kann sie wieder 80 m Höhe gewinnen. In der Realität erreicht sie wegen der Reibung nur einen Bruchteil der Geschwindigkeit, die wir berechnet haben. Damit hat sie auch nur einen Bruchteil der potenziellen Energie tatsächlich in kinetische Energie umgewandelt. Das meiste wurde durch Reibungsarbeit zu thermischer Energie umgewandelt und steht deshalb für den Aufbau der potenziellen Energie nicht mehr zur Verfügung!

Thermische Energie ist auch eine Art von kinetischer Energie, jedoch ist es die ungeordnete Bewegung der Teilchen.

Obwohl die Energie nicht verloren ist, so ist sie als thermische Energie nicht mehr nutzbar. Thermische Energie gilt deshalb meistens als “verloren”. Wenn sie bei hoher Temperatur zur Verfügung steht, kann sie genutzt werden, jedoch nur teilweise (Zweiter Hauptsatz der Thermodynamik).

Kinetische Energie Beispiele

Im weiteren schauen wir uns Beispiele für die kinetische Energie (Bewegungsenergie Beispiele) an, meistens kombiniert mit einer Energieumwandlung von oder zu potentieller Energie (Lageenergie).

Die Achterbahn ist ein gutes Beispiel, denn die Wagen haben selber keinen Antrieb. Der Antrieb befindet sich an der Rampe, wo die Wagen auf ihre maximale Höhe gebracht werden. Dieser Antrieb verrichtet die Hubarbeit und speichert die Energie in Form von potentieller Energie in den Wagen (und den Leuten).

Ab da rollen die Wagen herunter und erreichen eine hohe kinetische Energie. Bei der nächsten Auffahrt wird diese wieder zugunsten von potentieller Energie abgebaut usw.

Auf der Kinderschaukel haben wir das gleiche Wechselspiel zwischen potentieller und kinetischer Energie: Beim Start hat das Kind potentielle Energie. Von hier nimmt die potentielle Energie ab und wird vorzu in kinetische Energie umgewandelt. Im tiefsten Punkt ist diese potentielle Energie in kinetische Energie umgewandelt.

Mit genügend “Schuss” geht es wieder hinauf, die kinetische Energie wird wieder abgebaut und in potentielle Energie umgewandelt, bis das Kind am Wendepunkt kurz in Ruhe ist.

Das Kind muss zwischendrin angeben, um die Reibungseffekte zu kompensieren. Ohne Reibung könnte das Kind ununterbrochen schaukeln.

Andere Pendel funktionieren gleich wie die Schaukel. Was sie letztlich abklingen lässt, ist die Reibung. Ansonsten könnten sie die anfänglich eingesetzte potenzielle Energie beliebig oft in kinetische Energie umwandeln und wieder umgekehrt.

Die Eisenbahn nutzt die kinetische Energie auf sehr effiziente Weise: Da Eisenbahnen eine sehr grosse Masse haben, ist die Menge an kinetischer Energie bei der Eisenbahn entsprechend gross.

Auf einer horizontalen oder unmerkbar abschüssigen Strecke kann die Eisenbahn einfach rollen lassen. Die Fahrgäste merken nicht, dass sie minutenlang ganz ohne Antrieb fahren! Die extrem kleine Rollreibung macht, dass die kinetische Energie über kilometerlange Strecken ausreicht und kein zusätzlicher Antrieb nötig ist.

Andere Beispiele für Bewegungsenergie verknüpfen die kinetische Energie mit der Reibungsarbeit.

Wenn ein Auto plötzlich eine Vollbremsung machen muss, bedeutet das aus energetischer Sicht, dass die Geschwindigkeit vollständig abgebaut werden muss und zwar so schnell wie möglich. Das bedeutet auch, dass die kinetische Energie weg muss!

Mit Hilfe der Bremsen können wir diese kinetische Energie mit Reibungsarbeit abbauen und in thermische Energie umwandeln. Eigentlich beschleunigen wir damit die Teilchen in den Bremsscheiben, deren Temperatur ansteigt. Da aber die Teilchenbewegung insgesamt ungerichtet ist, wird die Bremsscheibe nicht schneller, sondern nur heisser. Sie speichert die Energie in Form von thermischer Energie.

Weitere Beispiele:

• Atome oder Moleküle eines Gases
• kosmische Teilchen
• Menschen, die rennen, springen etc. aber auch z.B. die Bewegung der Arme, Beine etc.
• Flüssigkeiten, z.B. der Wasserstrahl, der aus dem Feuerwehrschlauch austritt
• Fahrzeuge, Flugzeuge
• Geschosse
• Asteroiden, Kometen, Meteoriten etc.

Kinetische Energie der Teilchen (thermische Energie)

Wenn wir ein einzelnes Wasserstoffatom betrachten, das mit Geschwindigkeit \(v\) durch das Vakuum fliegt, so hat es klar kinetische Energie:

\[ E_{\text{kin}} = \frac{1}{2} m v^2 \]

Wir bezeichnen die Summe der Energien aller Atome oder Moleküle eines Gases aber nicht als kinetische Energie, weil ihre Geschwindigkeiten alle zufällig gerichtet sind. In Summe sind alle Geschwindigkeitsvektoren null, denn alle Richtungen und Gegenrichtungen heben sich gegenseitig auf:

\[ \sum_i \vec{v}_i = \vec{O} \]

Bei ungerichteter Bewegung von Teilchen (Atome oder Moleküle) sprechen wir von thermischer Energie.

Ist der Körper nicht starr, so könnte eine weitere Bewegungsform kinetische Energie speichern: Die beiden Atome im Wasserstoffmolekül könnten sich in einer schwingenden Bewegung einander annähern und sich dann wieder von einander entfernen.

Es ist definitiv eine Bewegung, aber der Schwerpunkt bleibt in Ruhe (\(v=0\)), d.h. es ist nicht eine translatorische Bewegung.

Es ist die Oszillation (Schwingung), die bei Molekülen aus mehreren Atomen möglich ist.

Auch die Oszillation trägt zur thermischen Energie bei.

Rotationsenergie

Das Wasserstoffmolekül könnte aber auch in Ruhe sein (\(v=0\)) und keine Oszillation haben, aber eine Kreisbewegung um seinen eigenen Schwerpunkt herum machen. Die kinetische Energie wäre hier durch eine Rotation gegeben.

Diese Form der kinetischen Energie wird Rotationsenergie genannt.

Hier müssen wir uns aber vom Konzept des Schwerpunkts verabschieden, denn wäre die ganze Masse nur in einem unendlich kleinen Schwerpunkt konzentriert, wäre eine Rotation gar nicht möglich. Ein unendlich kleiner Punkt ohne Ausdehnung kann gar nicht rotieren bzw. wir können das ja nicht feststellen.

Das Wasserstoffmolekül ist aber eine Art Hantel und die Massen der beiden H-Atome sind in einem Abstand \(r\) vom Drehzentrum. Sie bewegen sich auf einer Kreisbahn um den Schwerpunkt herum.

Wir betracht eine dieser Atommassen \(m\), die im Abstand \(r\) um das Zentrum kreist.

Diese Masse hat ganz klar kinetische Energie, denn die Masse hat eine Bahngeschwindigkeit \(v\):

\[ E_{\text{kin}} = \frac{1}{2} m v^2 \]

Weil wir aber eine Kreisbewegung mit der Winkelgeschwindigkeit \(\omega\) haben, schreiben wir die Rotationsenergie \(E_{\text{rot}}\):

\[ E_{\text{rot}} = \frac{1}{2} \cdot I \cdot \omega^2 \]

Dir fällt jetzt sicherlich auf, dass die Struktur dieser Gleichung sehr stark der Gleichung \( E_{\text{kin}} = \frac{1}{2} m v^2 \) ähnelt. Mit folgenden Änderungen:

• statt der Masse \(m\) haben wir das Trägheitsmoment \(I\) (das, die Masse enthält)
• statt der Geschwindigkeit \(v\) haben wir die Winkelgeschwindigkeit \(\omega\)

Das Trägheitsmoment löst das Problem des unendlich kleinen Massepunkts, der rotiert. Es beinhaltet den Abstand der Masse vom Drehzentrum. Je weiter aussen sie ist, desto grösser ist die Trägheit bzw. die gespeicherte Rotationsenergie.

Die Rotationsenergie trägt bei Teilchen (Moleküle) auch einen Beitrag zur thermischen Energie bei.

Bei grossen, makroskopischen Objekten sprechen wir aber von Rotationsenergie oder kinetischer Energie aufgrund einer Kreisbewegung. Der Schwerpunkt des Rotors der Windturbine ist in Ruhe, d.h. \(v=0\), aber es ist wohl klar, dass er sehr, sehr viel Rotationsenergie hat, die er laufend zusätzlich vom Wind erhält und in Form von elektrischer Arbeit teilweise abgibt.