Spannarbeit

Das Wichtigste in Kürze

Beachte, dass das Konzept der Feder auf alle elastischen Materialien übertragen werden kann, d.h. die Spannarbeit führt zu einer elastischen Verformung bzw. umgekehrt: Jede elastische Verformung bedingt das Verrichten von Spannarbeit.

Zusammenhang mit der potenziellen Energie

Jedes elastische Material erlaubt ein gewisses Zusammendrücken (Kompression) oder Dehnen. Die Atome oder Moleküle haben ihren idealen Abstand, den wir durch Kraftwirkung verändern können.

Wenn wir eine Feder dehnen oder sie zusammendrücken, geht das nicht von selbst, sondern es muss Arbeit dafür verrichtet werden: Spannarbeit. Diese Arbeit führt der Feder Energie zu, die sie als potenzielle Energie speichert. Dabei handelt es sich aber nicht um Lageenergie, sondern um potenzielle Energie aufgrund der Federkraft (Spannenergie).

In der Feder passiert folgendes: Ist die Feder entspannt, hat sie keine potentielle Energie gespeichert. Sie ist energetisch im tiefsten Punkt, der üblicherweise auf null gesetzt wird.

Die Atome des Metalls sind in einem bestimmten Abstand zu einander. Ändern wir diesen Abstand, spüren wir einen Widerstand, der auf die quantenmechanische Coulombkraft zurück zu führen ist, die z.B. zwischen den Elektronen der Metallatome herrscht. Beim Zusammendrücken, stossen sich die Elektronen der Atome ab, beim Auseinanderziehen, ziehen sie sich gegenseitig an.

Lassen wir die die Feder im gespannten Zustand, so verbleibt die Spannarbeit in Form von Spannenergie in der Feder gespeichert. Lassen wir zu, dass sich die Feder wieder entspannt, werden die Atome wieder in den Gleichgewichtszustand gehen und so die gespeicherte Energie als Spannarbeit wieder abgeben. Wir haben dann eine gespannte Feder, die Spannarbeit abgibt und sich dabei entspannt.

Herleitung

Die Kraft unserer Feder folgt dem Hooke’schen Gesetz, d.h. die Federkraft nimmt proportional mit der Ausdehnung \(\Delta s\) zu (Federkonstante \(k\)):

\[ F=k \cdot \Delta s \]

Wenn wir nur eine sehr kleine Wegstrecke \(\Delta s\) dehnen, verändert sich die Kraft auch nur sehr geringfügig. Wir können deshalb näherungsweise annehmen, dass die Kraft \(F_i\) konstant ist. Die Spannarbeit für diese sehr kleine Wegänderung \(\Delta s\) ist demnach:

\[ W_i=F_i \cdot \Delta s \]

Der kleine Beitrag an Arbeit \(\Delta W_i\) entspricht grafisch der Fläche des kleinen Rechtecks (Grundseite \(\Delta s\), Höhe \(F_i\)). Wenn wir die vielen schmalen Rechtecke (\(\Delta W_i\)) addieren und uns vorstellen, wir hätten unendlich viele solcher Rechtecke, die unendlich dünn sind, dann erhalten wir als Summe die Gesamt-Spannarbeit als Dreiecksfläche (rechts):

\[ W = \sum_i \Delta W_i \]

Wird die Feder von 0 bis \(s_2\) gestreckt, nimmt die Kraft zu, bis maximal \(F_2=k \cdot s_2\). Die Spannarbeit entspricht der Dreiecksfläche mit der Grundseite \(s_2\) und der Höhe \(F_2\):

\[ W_2 = \frac{1}{2} \cdot F_2 \cdot s_2 = \frac{1}{2} \cdot (k \cdot s_2) \cdot s_2 \]

\[ W_2 = \frac{1}{2} k s_2^2 \]

Gleiches gilt natürlich auch für eine Spannung der Feder von 0 bis \(s_1\):

\[ W_1 = \frac{1}{2} k s_1^2 \]

Wenn wir eine bereits bis \(s_1\) gespannte Feder zusätzlich von \(s_1\) bis \(s_2\) spannen, entspricht diese zusätzliche Spannarbeit der Fläche im F,s-Diagramm von \(s_1\) bis \(s_2\).

Das ist die Differenz der beiden Dreiecksflächen. Wir erhalten so die Formel für die Spannarbeit:

\[ W = W_2 – W_1 = \frac{1}{2} k s_2^2 – \frac{1}{2} k s_1^2 \]