Wissenschaftliche Notation

Vom Kleinsten zum Grössten

Mit Hilfe der wissenschaftlichen Notation können wir unglaublich grosse Zahlen und auch unglaublich kleine Zahlen auf kompakte Art schreiben. Am Beispiel der realen Grössen in der Natur können wir erkennen, wie praktisch die wissenschaftliche Notation ist. Die kleinste Abmessung, die wir in der Physik kennen, ist die theoretisch berechnete Grösse des Universum zum Zeitpunkt des Urknalls in normaler und in wissenschaftlicher Notation:

\[ 0.000’000’000’000’000’000’000’000’000’000’000’1\,\text{m} \]

\[ = 10^{-34}\,\text{m} \]

Seither sind rund 13.8 Milliarden Jahre vergangen und das Universum ist heute das Grösste, was wir uns vorstellen können, wenn überhaupt. Seine theoretisch berechnete Grösse beträgt in normaler und in wissenschaftlicher Notation:

\[ 100’000’000’000’000’000’000’000’000\,\text{m} \]

\[ = 10^{26}\,\text{m} \]

Wir können alles, was das Universum einschliesst, vom Kleinsten bis zum Grössten, mit der kompakten wissenschaftlichen Notation beschreiben, ohne dass wir uns mit dem Zählen von Nullen quälen müssen:

Wir werden ganz am Schluss auch sehen, wie wir mit der wissenschaftlichen Notation rechnen können. Wir berechnen, wie lange das Sonnenlicht hat, bis es beim entferntesten Planeten Neptun ankommt.

Grössenordnung

Der Trick der wissenschaftlichen Notation ist die Benutzung von Zehnerpotenzen. Damit wird die Grössenordnung angegeben.

Mit der Grössenordnung wird eine Klasse von Grössen gemeint, die mehr oder weniger gleich gross sind. Wir Menschen gehören in die Grössenordnung von ”abzählbaren Metern”, d.h. die Grössenordnung \(10^0 \, \text{m} = 1 \, \text{m} \). In dieser Grössenordnung können wir vorne die Zahlen 1 bis 9.9 setzen.

\[ 1\,\text{m} \quad – \quad 9.9\,\text{m} \]

Warum 9.9? Die Zahl 9.99 wäre auch noch ok, aber ab 10 wären wir ja in der nächst höheren Grössenordnung von \(10^1 \, \text{m} = 10 \, \text{m} \).

Zu der Grössenordnung \(10^0 \, \text{m} = 1 \, \text{m} \) gehören z.B. Tische, Autos, kleine Bäume etc. Sie sind alle in der gleichen Grössenordnung wie wir Menschen.

In wissenschaftlicher Notation schreiben wir die Zehnerpotenz \(10^0\) dazu. Beachte, dass alles hoch null einfach eins ist.

Jetzt schreiben wir das Vielfache vorne hin und hinten die Grössenordnung als Zehnerpotenz, z.B.

• Körpergrösse: \( 1.64 \cdot 10^{0} \, \text{m}\)
• Höhe eines Doppeldeckerbusses: \( 4 \cdot 10^{0} \, \text{m}\)
• Weltrekord beim Stabhochsprung bei den Männern: \( 6.25 \cdot 10^{0} \, \text{m}\)

Zugegeben: In den obigen Beispielen macht die wissenschaftliche Notation nicht viel Sinn, denn sie ist ja komplizierter, als einfach \( 1.64 \, \text{m}\), \( 4 \, \text{m}\) oder \( 6.25 \, \text{m}\). Das ändert sich aber, sobald wir unseren gewohnten Bereich verlassen.

Schauen wir uns noch eine Grössenordnung kleiner an: \(10^{-1} \, \text{m} = 0.1 \, \text{m} \). Das ist die Welt der Dezimeter! Dazu gehören all die Sachen, die wir als Menschen als “kleiner als uns” betrachten, wie z.B. unser Handy, unsere Kleider, unser Hund etc.

Wir haben jetzt einen negativen Exponenten, denn es gilt:

\[ 10^{-1} = \frac{1}{10^1} = \frac{1}{10} = 0.1 \]

\[ 10^{-2} = \frac{1}{10^2} = \frac{1}{100} = 0.01 \]

\[ \text{…} \]

Ein negativer Exponent bedeutet nicht eine negative Zahl, sondern eine Zahl, die kleiner als \( 10^0 = 1 \) ist, d.h. ein “Bruchteil” davon. Wenn wir z.B. in den Bereich der Millionstel von einem Meter gehen…

\[ 10^{-6} = \frac{1}{10^6} = \frac{1}{1’000’000} = 0.000’001 \]

Beispiele für diese Grössenordnung wären:

• Grösse eines Bakteriums: \( 5 \cdot 10^{-6} \, \text{m}\)
• Durchmesser eines roten Blutkörperchens: \( 7.5 \cdot 10^{-6} \, \text{m}\)
• Dicke eines Haars: \( 60 \cdot 10^{-6} \, \text{m}\)

Streng genommen gehört das Haar zur nächst grösseren Grössenordnung. Ich habe dieses Beispiel aber trotzdem gebracht, damit du siehst, wie einfach wir in diese Grössenordnung eintauchen können und sie miteinander vergleichen können, z.B. “…ein durchschnittliches Haar ist etwa 8 mal dicker als ein rotes Blutkörperchen.”

Natürlich hättest du die gleiche Aussagen machen können mit der klassischen Notation:

• Dicke eines Haars: \( 0.000’06 \, \text{m}\)
• Durchmesser eines roten Blutkörperchens: \( 0.000’007’5 \, \text{m}\)

Du siehst, dass die Übersicht durch die vielen Nullen verloren geht. In diesen Fällen ist es deshalb viel besser, mit der wissenschaftlichen Notation zu arbeiten! 😎

Regeln der wissenschaftlichen Notation

Für grosse Zahlen schreiben wir einfach die Zehnerpotenz, wobei der Exponent einfach der Anzahl Nullen nach der ersten Ziffer entspricht:

\[ 10 = 10^1 \]

\[ 100 = 10^2 \]

\[ 100’000’000 = 10^8 \]

Wenn wir jetzt eine Zahl haben, die von der reinen Zehnerpotenz abweicht, so schreiben wir einfach die Zahl mit einer Ziffer vor dem Komma und max. 4 Stellen nach dem Komma und multiplizieren dann mit der entsprechenden Zehnerpotenz:

\[ 20 = 2 \cdot 10^1 \]

\[ 2’500’000 = 2.5 \cdot 10^6 \]

\[ -7’954 = -7.954 \cdot 10^3 \]

Beachte im letzten Beispiel, dass wir keine Nullen mehr haben. Es ist aber eine Zahl, die in die Grössenordnung der Tausender gehört. Statt Nullen können wir sagen, die Zahl hat nach der ersten Ziffer drei Stellen und deshalb \(10^3\). Wir haben jetzt nicht nur einen Tausender, sondern fast 8 Stück. Genauer gesagt sind es 7.954. Dann kommt noch hinzu, dass es eine negative Zahl ist, d.h. wir setzen zuvorderst ein Minuszeichen hin.

Für kleine Zahlen benutzen wir negative Exponenten. Wir wissen, dass ein negativer Exponent mit einem Kehrbruch geschrieben werden kann:

\[ 0.1 = 10^{-1} \]

\[ 0.01 = 10^{-2} \]

Wir können auch hier wieder die Anzahl Nullen nehmen, wobei wir die Null vor dem Komma auch mitzählen müssen:

\[ 0.000’001 = 10^{-6} \]

\[ 0.0025 = 2.5 \cdot 10^{-3} \]

\[ -0.7954 = -7.954 \cdot 10^{-1} \]

Wichtig ist, dass du die beiden negativen Vorzeichen im letzten Beispiel richtig deutest: Das erste Vorzeichen zeigt an, dass es eine negative Zahl ist. Das zweite negative Vorzeichen (im Exponenten) bedeutet, dass die Zahl vom Betrag her kleiner eins ist. Es ist deshalb eine kleine Zahl.

Fassen wir nochmals zusammen: Die wissenschaftliche Notation schreibt Zahlen in zwei Teilen:

• Vorne steht der Zahlenwert mit nur einer Stelle vor dem Komma und bis max. 4 Stellen nach dem Komma
• Hinten steht die passende Zehnerpotenz, die die Grössenordnung der Zahl angibt.

Dadurch kann die Zahl viel kompakter geschrieben werden.

Wissenschaftliche Notation auf dem Taschenrechner

Auf den meisten Taschenrechnern kannst du zwischen der normalen (“normal”), der wissenschaftlichen (“science”) und meistens auch der sog. Ingenieurnotation (“engineering”) wechseln.

In der wissenschaftlichen Notation gibt dir der Taschenrechner beispielsweise folgendes Resultat:

\[ 10+10 = \text{2E1} \]

Gemeint ist damit \(\text{2E1} = 2 \cdot 10^1 = 20\). Für die Zehnerpotenz wird ”E” für Exponent angegeben.

Du kannst Zahlen in wissenschaftlicher Notation auch mit der ”E” bzw. ”EE”-Taste sehr einfach eingeben:

\[ 1 \cdot 10^{-19} = \text{1E(-)19} \]

Du brauchst nicht das Multiplikationszeichen, die Zehn und den Exponenten als solchen einzugeben, sondern nur 5 Tasten:

\[ [\,1\,] \;\;\; [\,\text{E}\,] \;\;\; [\,(-)\,] \;\;\; [\,1\,] \;\;\; [\,9\,] \]

Achte aber auf die Verwendung der richtigen Minus-Taste, denn die meisten Taschenrechner unterscheiden zwischen der Minus-Vorzeichen-Taste (meistens ein Minus in einer Klammer) und der Subtraktions-Taste.

Im nachfolgenden Beispiel kannst du eine einfache Aufgabe mit der wissenschaftlichen Notation auf dem Taschenrechner lösen. Achte darauf, dass du in SI-Grundeinheiten rechnest, d.h. die vorhandenen Präfixe in Zehnerpotenzen umwandelst, bevor du die Zahlen eingibst.

Verwendung von Präfixen

Die Millimeter, Zentiliter etc. kennst du ja schon. Unter Präfix (anderes Wort für Vorsilbe) verstehen wir die Wörter wie:

• milli (m) = Tausendstel = \(10^{-3}\)
• zenti (c) = centi = Hunderstel = \(10^{-2}\)
• dezi (d) = deci = Zehntel = \(10^{-1}\)
• kilo (k) = Tausend = \(10^3\)

Mit diesen Präfixen können wir die Zehnerpotenzen direkt ersetzen und damit die Notation noch kompakter machen.

\(2 \cdot 10^3 \,\text{m} = 2 \,\text{k}\text{m}\)

Hier wurde \(10^3\) durch ”kilo” bzw. k ersetzt.

Im nächsten Beispiel ersetzen wir \(10^{-6}\) mit dem griechischen Buchstaben \(\mu\) (”mü”), eingesetzt für das Präfix ”micro”:

\(5.6 \cdot 10^{-6} \,\text{g} = 5.6 \,\mu\text{g}\)

Es handelt sich hier um 5.6 Mikrogramm.

Die Grössenordnungen erhalten, mit ein paar wenigen Ausnahmen, nur für alle drei Zehnerpotenzen einen speziellen Namen. Dafür lässt man die vordere Zahl vor der Zehnerpotenz bis zu drei Stellen anwachsen, bevor man zum nächsten Präfix wechselt.

In der folgenden Tabelle wird die Verwendung von Präfixen gezeigt am Beispiel der Einheiten Meter m und Hertz Hz. Der Grund: Es ist unüblich die Präfixe Mega und Giga für Meter einzusetzen. Bei den Frequenzen sind aber MHz und GHz sehr üblich.

Nachfolgend findest du die Auflistung der Präfixe. Die fett gedruckten Präfixe sind sehr üblich und sollten in den Naturwissenschaften bekannt sein. Ich würde Dir deshalb empfehlen, sie auswendig zu lernen! 🤓

Die kursiven Präfixe sind eher exotisch und kommen nur in ganz speziellen Bereichen vor.

Verwendungen von Präfixen bei Flächen und Volumina

Wir wissen, dass Meter für Strecken benutzt werden. Für Flächen werden Quadratmeter und für Volumina Kubikmeter benutzt. Hier möchten wir uns anschauen, wie wir umrechnen müssen, wenn wir Präfixe haben.