Geometrische Folgen (GF)

Definition

Die geometrischen Folgen bilden, wie die arithmetischen Folgen, eine Familie von Folgen mit einer gemeinsamen Eigenschaft.

Bei einer geometrischen Folge erhält man das nächste Glied, indem man immer das vorhergehende Glied mit dem konstanten Faktor \(q\) multipliziert.

Wenn also von einem Folgeglied zum Nächsten immer eine Multiplikation mit dem gleichen Faktor \(q\) vollzogen wird, handelt es sich um eine geometrischen Folge.

Konvergenz

Beachte, dass dieser Faktor auch kleiner als eins sein kann. Bei einem Faktor \(q=\frac{1}{2}\) wird immer mit 2 geteilt. Bei einem Faktor \(q=0.001\) wird immer mit 1000 geteilt etc.

Durch das Teilen, machen wir den Folgewert immer kleiner, so dass die Folge gegen den Grenzwert null konvergiert. Deshalb ist \(|q| < 1\) die Bedingung für Konvergenz.

Der Faktor \(q\) kann auch negativ sein, wodurch sich das Vorzeichen die ganze Zeit abwechselt, z.B.

\[ (a_n) = 2,\,-6,\,18,\,-54,\,162,\, … \quad (q=-3) \]

Das Kriterium der Konvergenz funktioniert auch für ein negatives \(q\) mit dem Konvergenzkriterium \(|q|<1\), z.B.

\[ (b_n) = 4, \,-2,\, 1,\, -0.5,\, 0.25,\, -0.125,\, … \quad (q=-0.5) \]

Wir sehen ein dauernd wechselndes Vorzeichen. Jedoch konvergiert die Folge trotzdem, von beiden Seiten, zum Grenzwert null hin.

Rekursive Definition

Aus der Definition der geometrischen Folge erhalten wir sofort die rekursive Definition, d.h. wir nehmen das vorhergehende Folgeglied mit dem Wert \(a_{n-1}\) und multiplizieren es mit \(q\):

\[ a_n = a_{n-1} \cdot q \]

Explizite Definition

Wie bei der arithmetischen Folge, würden wir in gewissen Fällen aber die explizite Definition der Folge bevorzugen, z.B. wenn wir wieder das 94. Glied der Folge berechnen möchten.

Für \(a_2\) müssen wir \(a_1\) einmal mit \(q\) multiplizieren. Für \(a_3\) multiplizieren wir einmal mit \(q\) (und erhalten \(a_2\)) und dann nochmals mit \(q\), d.h. mit \(q^2\). Für \(a_4\) müssen wir \(a_1\) mit \(q^3\) multiplizieren etc. Wir kommen so auf die Formel:

\[ a_{94} = a_1 \cdot q^{93} \]

Auch das können wir wieder von 94 auf \(n\) verallgemeinern und erhalten so die explizite Definition einer geometrischen Folge:

\[ a_n = a_1 \cdot q^{(n-1)} \]

Beachte, dass wir in der obigen Formel auch \(n=1\) einsetzen können. Wir erhalten dann nämlich

\[ a_1 = a_1 \cdot q^{(1-1)} = a_1 \cdot q^0 = a_1 \cdot 1 = a_1 \]

Die Gleichung ist erfüllt. Wir haben dabei benutzt, dass jede Zahl mit Exponent null immer eins ergibt.