Wir betrachten jetzt die Kosinus-Funktion und machen auch wieder eine kleine Wertetabelle, indem wir uns die \(x\)-Koordinate des Punkts auf dem Einheitskreis vorstellen:
| \(\alpha\) | 0° | 30° | 45° | 60° | 90° | 180° | 270° | 360° |
| \(x=\cos(\alpha)\) | 1 | \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) | \(\frac{1}{\sqrt{2}}\) | \(\frac{1}{2}\) | 0 | -1 | 0 | 1 |
Der Wert der Kosinus-Funktion schwingt ebenfalls zwischen -1 und +1 hin und her – nichts erstaunliches soweit. Allerdings sehen wir, dass der Kosinus bei +1 beginnt und auch bei +1 wieder endet. Der Kosinus ist irgendwie um 90° dem Sinus voraus, denn die Sinus-Funktion erreicht das Maximum +1 erst bei 90° und nicht schon beim Start bei 0°. Das ist tatsächlich so. Deshalb kann eine physikalische Schwingung, statt mit einem Sinus, auch mit einem Kosinus beschrieben und berechnet werden. Wir werden etwas später die Beziehungen zwischen den verschiedenen trigonometrischen Funktionen diskutieren und diese Beobachtung wieder hervorheben. Den Verlauf der Kosinus-Funktion siehst du in der folgenden Abbildung.
Eigenschaften der Kosinus-Funktion:
- startet mit +1: \(\cos(0°)=+1\)
- schwingt zwischen +1 (bei 0°) und -1 (bei 180°)
- Null-Durchgänge bei 90° und 270° etc.
- vollendet eine Periode bei 360°
- ist eine gerade Funktion: \(\cos(x)=\cos(-x)\) (spiegelsymmetrisch)
Beispiel
Berechne den Sinus- und den Kosinuswert von 45°.
Wenn der Winkel \(\alpha=\)45° beträgt, dann sind \(x\) und \(y\) im Einheitskreis gleich gross. Somit gilt
\[ a = \cos(45°)= b = \sin(45°) \]
Mit dem Satz von Pythagoras, der ja für rechtwinklige Dreiecke gilt, können wir folgern:
\[ a^2+b^2=c^2 \]
und mit \(a=b\) erhalten wir im Einheitskreis
\[ 2a^2=1 \]
\[ a=\underline{\frac{1}{\sqrt{2}}}=\cos(45°)=\sin(45°) \]
Verlauf der Kosinus-Funktion
Wenn wir das gleiche Prozedere für die \(x\)-Koordinate unseres Punktes A durchführen, erhalten wir zu jedem Winkel \(\alpha\) den Funktionswert des Kosinus zu diesem Winkel. Wir erstellen wieder eine Tabelle:
| \(n\) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | … |
| \(\alpha\) | 0° | 45° | 90° | 135° | 180° | 225° | 270° | 315° | 360° | … |
| \(\cos(\alpha)\) | 1 | \(\frac{1}{\sqrt{2}}\) | 0 | \(-\frac{1}{\sqrt{2}}\) | -1 | \(-\frac{1}{\sqrt{2}}\) | 0 | \(\frac{1}{\sqrt{2}}\) | 1 | … |
Jetzt übertragen wir die Punkte und vervollständigen den Verlauf. Wir erhalten so die gleiche Auf-Ab-Bewegung zwischen den Schranken -1 und +1. Dieses Mal beginnt die Funktion jedoch bei 1 und ist somit gleich wie die Sinus-Funktion, jedoch um 90° nach links verschoben.
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