Umkehrfunktionen

Bachte: Die Bezeichnung \(f^{-1}\) ist als Umkehrfunktion von \(f\) zu lesen. Es hat nichts mit einer Potenz oder einem Kehrwert zu tun.

\[ f^{-1} \neq \frac{1}{f} \]

Bestimmung einer Umkehrfunktion

Im Artikel zu den Funktionen habe ich erwähnt, dass ich mir als Schüler damals die Funktionen wie einen Getränkeautomaten vorgestellt habe. Ich werfe eine Münze ein und der Automat (die Funktion) gibt eine Cola-Flasche heraus.

Nun gibt es zu den meisten Funktionen auch sog. Umkehrfunktionen.

Eine Funktion ist die Umkehrfunktionen \(f^{-1}\) zur ursprünglichen Funktion \(f\), wenn sie die Aktion der Funktion \(f\) rückgängig macht: In unserer Analogie wäre die Umkehrfunktion ein spezieller Automat, der die Colaflasche annimmt und dafür die ursprüngliche Münze wieder ausgibt!

Geschrieben wird die Umkehrfunktion mit einem hoch gestellten “-1”.

\[ f:\;\; x \mapsto y \quad \quad y=f(x) \]

\[ f^{-1}:\;\; y \mapsto x \quad \quad x = f^{-1}(y) \]

Achtung Verwechslungsgefahr! Die Notation mit dem Exponenten (-1) hat nichts mit einer Potenz zu tun und darf deshalb auf keinen Fall mit dem Kehrwert verwechselt werden!

Beachte: Wenn \(f^{-1}\) die Umkehrfunktion von \(f\) ist, dann ist die Funktion \(f\) auch die Umkehrfunktion von \(f^{-1}\).

Umkehrfunktion von x oder von y?

Im obigen Beispiel haben wir die Funktion \(f\) als eine Funktion der Variablen \(x\) geschrieben. Die Funktionsgleichung lautete:

\[ f(x) = 5x+2 \]

Dann haben wir die Umkehrfunktion ermittelt und sie wie folgt geschrieben:

\[ f^{-1}(y) = \frac{y-2}{5} \]

Weil die Funktion \(y=f(x)\) aus einem \(x\) ein \(y\) macht, macht die Umkehrfunktion \(x=f^{-1}(y)\) folglich ein \(y\) aus einem \(y\).

Da die Umkehrfunktion \(f^{-1}\) selber wieder eine Funktion ist, kann ich die Funktionsvariable (das Argument) auch anders benennen, z.B. mit \(a\) statt mit \(y\):

\[ f^{-1}(a) = \frac{a-2}{5} \]

Wir sehen in der obigen Funktionsgleichung, wie unser “Automat” aufgebaut ist und was er mit dem Input macht und daraus den Output generiert.

Der Name der Variable ist unbedeutend. Wie bei den Funktionen, könnte ich durchaus auch irgendein Symbol \(*\) verwenden. Der mathematische Gehalt ist immer noch der Gleiche:

\[ f^{-1}(*) = \frac{*-2}{5} \]

Deshalb kann ich auch statt dem “logischen” \(y\) etwas gemein sein und einfach ein \(x\) einsetzen. Ich weiss: Das wird die Anfänger etwas verwirren…nicht mein Ziel, ehrlich! …Du musst hier den Punkt sehen, dass wir für Funktionen in der Mathematik eben gerne ein \(x\) schreiben, selbst wenn es sich um eine Umkehrfunktion handelt.

\[ f(x) = 5x+2 \quad \leftrightarrow \quad f^{-1}(x) = \frac{x-2}{5} \]

Ist die Funktion umkehrbar oder nicht?

Mit Hilfe der Monotonie können wir untersuchen, ob eine Funktion umkehrbar, d.h. ob sie bijektiv ist oder nicht.

Wenn eine Funktion \(f(x)\) zu jedem Wert von \(x\) einen anderen Funktionswert \(y\) zuordnet, gibt es keine Probleme, denn dieser Vorgang kann einfach umgekehrt werden. Für solche Funktionen wird jeder \(y\)-Wert nur von je einem eindeutigen \(x\)-Wert zugeordnet, also können wir problemlos vom \(y\) wieder zurück zum \(x\) finden. Die Umkehrung ist eindeutig.

Die Exponentialfunktion \(e^x\) ist mit dem natürlichen Logarithmus \(\ln(x)\) eindeutig umkehrbar. Wir sehen auch am streng monotonen Verlauf der beiden Funktionen, dass jedem \(x\)-Wert nur ein \(y\)-Wert zugeordnet wird.

Probleme gibt es dann, wenn eine Funktion \(f\) für verschiedene \(x\)-Werte den gleichen \(y\)-Wert ergibt. Die Umkehrung ist dann nicht mehr eindeutig.

Der Verlauf erreicht ein bestimmtes Niveau und kommt später wieder zum gleichen Funktionswert zurück. Legen wir eine Horizontale auf dieser Höhe, erhalten wir mehr als einen Schnittpunkt für verschiedene \(x\)-Werte.

Einziger Ausweg ist, den betrachteten Definitionsbereich so einzuschränken – alles wegschneiden, was stört ✂️, so dass die Funktion in diesem Bereich streng monoton und damit garantiert umkehrbar ist.

Definitionsbereich und Wertebereich

Wir wissen, dass eine Funktion \(f\) eine Funktionsvariable (Argument) aus dem Definitionsbereich \(\boldsymbol{D}\) einem Funktionswert aus dem Wertebereich \(\boldsymbol{W}\) zuordnet:

\[ f: \quad \boldsymbol{D} \rightarrow \boldsymbol{W},\;x \mapsto y \]

Die Umkehrfunktion macht genau das Umgekehrte, d.h. der Wertebereich der Funktion wird zum Definitionsbereich, der Menge, aus welcher der Input kommt. Die Funktionswerte der Umkehrfunktion gehören ihrerseits der Menge des ursprünglichen Definitionsbereichs an.

\[ f^{-1}: \quad \boldsymbol{W} \rightarrow \boldsymbol{D},\;y \mapsto x \]

Wir müssen einfach Definitions- und Wertebereich vertauschen.

Beachte, dass Umkehrfunktionen oft eingeschränkt werden, um als Funktion eine eindeutige Zuordnung zu gewähren. Schau dir zu diesem Zweck das folgende Beispiel an.

Ableitung Umkehrfunktion

Wir betrachten zum Einstieg wieder ein sehr einfaches Beispiel einer Funktion \(f\) und ihrer Umkehrfunktion, die wir \(g\) nennen:

\[ f(x)=x^2 \;\; \leftrightarrow \;\; g(x)=\sqrt{x} \]

Die Umkehrung des Quadrierens ist die Quadratwurzel. Gesucht ist hier die Ableitung von \(g(x)=\sqrt{x}\), wobei wir aber einen allgemein gültigen Ausdruck für alle möglichen Umkehrfunktionen suchen. \(g\) hätten wir sonst mit der Potenzregel ableiten können.

Wenn wir \(x\) quadrieren und dann wieder die Wurzel ziehen, haben wir wieder \(x\). Die Wirkung der Funktion \(f\) wird durch die Umkehrfunktion \(g\) wieder rückgängig gemacht. Das gilt immer und entspricht der eigentlichen Definition der Umkehrfunktion:

\[ f\Big(\,g(x)\,\Big)=x \]

Wir leiten jetzt beide Seiten dieser Gleichung nach \(x\) ab. Die linke Seite wird mit Hilfe der Kettenregel abgeleitet: Zuerst die äussere Ableitung \(f'(g) = \frac{d}{dg}f(g)\), dann die innere Ableitung \(g'(x) = \frac{d}{dx}g(x)\):

\[ \frac{d}{dx}f\Big(\,g(x)\,\Big) = f'(g) \cdot g'(x) \]

Die Ableitung der rechten Seite ist ganz einfach:

\[ \frac{d}{dx}x = 1 \]

Wir erhalten somit einen Ausdruck für die Ableitung \(g'(x)\) der Umkehrfunktion:

\[ f'(g) \cdot g'(x) = 1 \]

\[ g'(x) = \frac{1}{f'(g)} \]

Wir bestimmen jetzt mit Hilfe dieses Ausdrucks die Ableitung der Quadratwurzel:

\[ f(x) = x^2 \;\; \rightarrow \;\; f'(x)=2x \]

\[ g(x) = \sqrt{x} \;\; \rightarrow \;\; g'(x) = \frac{1}{f'(g)} = \frac{1}{2g} \]

\[ = \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} \]

\[ g'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} \]

Das ist tatsächlich auch die Ableitung, die wir mit der Potenzregel erhalten hätten.

Integral Umkehrfunktion

Für das Integral einer Umkehrfunktion \(f^{-1}(x)\) benutzen wir die Methode der Substitution. Wir ersetzen die Umkehrfunktion mit \(u(x)=f^{-1}(x)\):

\[ \int f^{-1}(x) \; dx = \int u(x) \; dx \]

Wir können das Integral so aber noch nicht lösen, denn die Integrationsvariable ist immer noch \(dx\). Aus \(u(x) = f^{-1}(x)\) folgt die Umkehrung:

\[ f(u) = f\big( f^{-1}(x) \big) = x \]

Wir benutzen den Physikertrick und leiten die obige Gleichung nach irgendeiner Variablen z.B. \(t\) ab.

\[ \frac{df(u)}{dt} = \frac{dx}{dt} \]

Dann multiplizieren wir alles mit \(dt\) und erhalten einen Ausdruck mit welchem wir \(dx\) ersetzen können:

\[ df(u) = dx \]

Das setzen wir in das obige Integral ein:

\[ \int u(x) \; dx = \int u \; df(u) \]

Nun nehmen wir die partielle Integration zur Hand. Natürlich wählen wir \(u\) als die abzuleitende Teilfunktion und \(df(u)\) als die zu integrierende Teilfunktion. Sie lässt sich sehr einfach integrieren, denn sie ist ja eine Art Ableitung, d.h.

\[ \int df(u) = f(u) \]

Wir führen die partielle Integration nach \(u\) aus:

\[ \int u \; df(u)= \int \underset{\downarrow}{u} \; \underset{\uparrow}{df(u)} = u \cdot f(u) – \int u’ \cdot f(u) \]

Die abgeleitete Teilfunktion \(u’\) ist die Ableitung von \(u\) nach \(u\), d.h. \(\frac{du}{du} = 1\). Für das Integral am Schluss haben wir somit:

\[ \int 1 \cdot f(u) = \int f(u) = F(u) \]

Das Integral der Funktion \(f\) ist ihre Stammfunktion \(F\). Wir haben somit für unsere partielle Integration:

\[ = u \cdot f(u) – F(u) \]

Schliesslich machen wir die Substitution \(u(x) = f^{-1}(x)\) wieder rückgängig:

\[ = f^{-1}(x) \cdot \underbrace{f\Big( f^{-1}(x) \Big)}_{x} – F\Big( f^{-1}(x) \Big) \]

So erhalten wir die Lösung für das Integral einer Umkehrfunktion:

\[ \int f^{-1}(x) \; dx \;\; = \;\; x \cdot f^{-1}(x) – F\Big( f^{-1}(x) \Big) \]