Polynome und Polynomfunktionen

Was ist ein Polynom?

Polynome sind Summen von Potenzen einer Variable. Jede einzelne Potenz kann zudem mit einem Faktor multipliziert sein.

Hier ein Beispiel eines Polynoms dritten Grades, weil die höchste vorkommende Potenz ein \(x^3\) ist:

\[ x^3 – 4x^2 – 3x + 18 \]

Die vorher erwähnten Faktoren bzw. Koeffizienten betragen hier:

• 1 für die dritte Potenz (\(x^3\))
• (-4) für die zweite Potenz (\(x^2\))
• (-3) für die erste Potenz (\(x^1=x\)) und
• 18 für die nullte Potenz (\(x^0=1\)). Wir können dieses Polynom auch folgendermassen schreiben:

\[ 1 \cdot (x^3) + (-4) \cdot (x^2) + (-3) \cdot x + 18 \cdot 1 \]

Wenn wir dieses Polynom verallgemeinern, mit den Faktoren \(a_3\), \(a_2\) bis \(a_0\) erhalten wir:

\[ a_3 \cdot (x^3) + a_2 \cdot (x^2) + a_1 \cdot x + a_0 \qquad (a_i=0 \quad \forall i>3) \]

Beachte die Klammer am Schluss. Sie besagt, dass es noch weitere Faktoren \(a_i\) gibt, wobei wir für \(i\) eine beliebige natürliche Zahl uns vorstellen können, z.B. \(a_4, a_5, …., a_{29}, …\) etc. Diese sind aber alle null für alle Indizes, die grösser 3 sind.

Ausdrücken eines Polynoms mit Summenzeichen

Jetzt kehren wir die Reihenfolge der Summanden um:

\[ a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + a_3 x^3 + a_4 x^4 + … + a_n x^n + … \]

Stell dir vor, wir hätten mit \(i\) eine Zählvariable, die nacheinander die Werte \(0, 1, 2, 3, 4, … , n, …\) annimmt. Mit dem Summenzeichen ausgedrückt, erhalten wir dann:

\[ \sum_{i=0}^{\infty} a_i x^{i} \]

Die Laufvariable \(i\) läuft von 0 bis \(\infty\). Das Summenzeichen \(\Sigma\) ist der griechische Grossbuchstabe Sigma, der unserem “S” entspricht. Er steht für Summe.

Polynomfunktionen in Normalform

Polynomfunktionen können auch als ganzrationale Funktionen bezeichnet werden. Sobald wir einen Bruch haben mit einem Polynom im Zähler und einem Polynom im Nenner, nennen wir die Funktion eine gebrochenrationale Funktion.

Als Normalform bezeichnen wir die ausmultiplizierte Summenform mit absteigenden Potenzen, z.B.

\[ f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + … + a_2 x^2 + a_1 x + a_0 \]

Mit der Normalform erkennen wir sofort den Grad des Polynoms. Auch ist der Achsabschnitt \(a_0\) direkt ablesbar, d.h. wir wissen, wo der Funktionsverlauf die \(y\)-Achse schneidet.

Polynomfunktionen in Produktform

Wenn wir die Nullstellen eines Polynoms suchen, brauchen wir die Produktform.

Polynome können ganz oder teilweise in Produktform ausgedrückt werden, d.h. als Produkt von vielen Klammern als Faktoren \((x-x_k)\):

\[ (x-x_n)(x-x_{n-1})\cdot…\cdot(x-x_3)(x-x_2)(x-x_1) \]

Hier sind die Nullstellen in \(x_1\), \(x_2\), … \(x_{n-1}\) und \(x_n\) zu finden.

Da in einer Klammer \((x-x_k)\) die Funktionsvariable \(x\) steht, kann es bei einem Polynom vom Grad \(n\) höchstens \(n\) solche Klammern geben.

Wenn nämlich all diese Klammern miteinander ausmultipliziert würden, hätten wir die Normalform mit der höchsten Potenz \(x^n\).

Die Anzahl Klammern der Produktform entspricht der maximal möglichen Anzahl Nullstellen der Polynomfunktion.

Es heisst maximal mögliche Anzahl weil auch eine kleinere Anzahl Nullstellen (und Klammern) möglich ist.

Ableitung Polynomfunktionen

Die Ableitung von Polynomfunktionen ist zum Glück sehr einfach.

Um dies zu illustrieren, betrachten wir die Funktion \(f(x)=\frac{1}{4}x^2\), die wir mehrfach ableiten:

\[ f(x)=\frac{1}{4}x^2 \quad \rightarrow \quad f'(x)=\frac{1}{2}x \]

\[ f'(x)=\frac{1}{2}x \quad \rightarrow \quad f”(x)=\frac{1}{2} \]

\[ f”(x)=\frac{1}{2} \quad \rightarrow \quad f”'(x)=0 \]

Wir finden eine Regel:

\[ f(x)=\frac{1}{4}x^{\boldsymbol{2}} \]

\[ f'(x) = \boldsymbol{2} \cdot \frac{1}{4}x^{(2 \;\boldsymbol{-1}\;)} = \frac{1}{2} x ^\boldsymbol{1} \]

\[ f”(x) = \boldsymbol{1} \cdot \frac{1}{2}x^{(1 \;\boldsymbol{-1}\;)} = \frac{1}{2} x ^\boldsymbol{0} \]

\[ f”'(x) = \boldsymbol{0} \cdot \frac{1}{2}x^{(0 \;\boldsymbol{-1}\;)} = 0 \]

Die Ableitung läuft wie folgt ab:

• In einem ersten Schritt wird der Exponent vorne mit dem Koeffizienten multipliziert
• In einem zweiten Schritt subtrahieren wir 1 vom Exponenten.

Mathematisch ausgedrückt, heisst das:

\[ \frac{d}{dx} x^n \;\;=\;\; n \cdot x^{n-1} \]

Diese Regel wenden wir auf jeden einzelnen Summanden an, denn es gilt ja die Summenregel der Differentialrechnung: Die Ableitung einer Summe ist die Summe der einzelnen Ableitungen der Summanden.

Auch die Vorfaktoren stören nicht. Wir multiplizieren sie einfach mit der Ableitung (gemäss Faktorregel).

Wie die Ableitung genau geht, kannst du in den folgenden Beispielen ablesen.