Arithmetische Folgen (AF)

Definition

Die arithmetischen Folgen bilden, wie die geometrischen Folgen, eine Familie von Folgen, die eine ganz bestimmte Eigenschaft vereinen: Von einem Glied zum nächsten Glied wird immer der gleiche Betrag \(d\) addiert.

Mit \(d=1\) hätten wir z.B. die Folge der natürlichen Zahlen, wenn \(a_1=1\).

Mit \(d=-1\) kriegen wir eine fallende Folge, die z.B. beim Anfangswert \(b_1=100\) beginnt und von da an immer um den Betrag \(1\) fällt:

\[ (b_n) = 100, 99, 98, 97, … \]

Auch hier ist die Schrittweite immer die Gleiche und die Folge ist eine arithmetische Folge.

Rekursive Definition

Die arithmetische Folge wird am besten mit der rekursiven Definition beschrieben. Dazu brauchen wir ja nur gerade die Differenz \(d\), die jedesmal addiert wird:

\[ a_n = a_{n-1} + d \]

Explizite Definition

Allerdings ist die rekursive Definition nicht immer praktisch. Wenn wir z.B. das 94. Glied einer Folge bestimmen müssen, dann beginnen wir bei \(a_1\), addieren \(d\), um \(a_2\) zu kriegen und dann wieder, um \(a_3\) zu kriegen usw. Das Ganze 93 mal, bis wir bei \(a_{94}\) angekommen sind.

Natürlich würdest du das nicht tun, sondern gleich darauf kommen, dass du einfach das 93-fache von \(d\) addieren musst:

\[ a_{94} = a_1 + 93 \cdot d \]

Wenn wir dieses Beispiel nehmen und die 94 mit \(n\) verallgemeinern, kriegen wir:

\[ a_n = a_1 + (n-1) \cdot d \]

Das ist auch schon die explizite Definition einer arithmetischen Folge, mit welcher wir ein Folgeglied direkt (mit nur einer Rechnung) bestimmen können.