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Gasgesetze (Heissluftballon)
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Das universelle Gasgesetz gilt für ideale Gase, d.h. Gase, die eine genügend hohe Temperatur und einen genug niedrigen Druck haben, so dass die Teilchen sich gegenseitig nicht beeinflussen. Dadurch gilt das ideale Gasgesetz für die Gase unabhängig vom Stoff.

\[ pV = nRT \]

\[ pV = N k_B T \]

$R$ ist die universelle Gaskonstante: $R = 8.3145\;\frac{\text{J}}{\text{mol K}}$

$k_B$ ist die Boltzmann-Konstante: $k_B=1.3806 \cdot 10^{-23}\;\frac{\text{J}}{\text{K}}$

Die einzelnen Gasgesetze sind Spezialfälle dieses universellen Gasgesetzes und gelten, wenn bestimmte Grössen konstant gehalten werden:

Gesetz von Boyle-Mariotte

\[p_1 \cdot V_1 = p_2 \cdot V_2 \qquad (n, T \;\; \text{konstant})\]

Gesetz von Avogadro

\[\frac{V_1}{n_1} = \frac{V_2}{n_2} \qquad (p, T \;\; \text{konstant})\]

Gesetz von Charles (Gay-Lussac 1)

\[\frac{V_1}{T_1} = \frac{V_2}{T_2} \qquad (p, n \;\; \text{konstant})\]

Gesetz von Amontons (Gay-Lussac 2)

\[\frac{p_1}{T_1} = \frac{p_2}{T_2} \qquad (n, V \;\; \text{konstant})\]

Gase komprimieren und expandieren

Was macht Gase einzigartig? Im Gegensatz zu Festkörpern und Flüssigkeiten, sind Gase nicht an einem Volumen gebunden. Bei einem Feststoff oder einer Flüssigkeit ist die Dichte eigentlich immer etwa gleich, weil für einen Stoff eine bestimmte Anzahl Teilchen immer etwa gleich viel Platz einnimmt. Die Teilchen sind aneinander gebunden und bleiben deshalb im Verbund, d.h. wir haben ein Feststoff-Partikel oder einen Flüssigkeits-Tropfen. Wie “gross” sind $1\;\text{g}$ Gestein oder $1\;\text{g}$ Wasser? Wir können uns das vorstellen: Es ist etwas in der Grösse eines Kieselsteinchens oder eines grossen Tropfens.

Wie “gross” sind $1\;\text{g}$ Luft? Das können wir nicht beantworten. Ist es Umgebungsluft, dann kann man sich merken, dass $1\;\text{m}^3$ Luft etwa $1\;\text{kg}$ entsprechen. Somit nimmt $1\;\text{g}$ Umgebungsluft etwa einen Liter Volumen ein. Im Reifen eines Rennrads ist diese gleiche Umgebungsluft aber rund zehnfach komprimiert und würde in einem Deziliter Platz finden. Ein starker Kompressor könnte die gleiche Luft nochmals zehnfach komprimieren auf einen Zentiliter.

Gase nehmen soviel Platz ein, wie wir ihnen geben. In der Umgebungsluft ist das auch so. Der Platz ist beschränkt durch die vielen schon anwesenden Luft-Teilchen. Im Weltraum, wo Vakuum herrscht, gibt es keine Beschränkung. Freigegebenes Gas breitet sich dort ungehindert aus und die Gasteilchen fliegen in alle Richtungen weg.

Wenn wir also bei Festkörpern und Flüssigkeiten die Dichte einfach in einer Tabelle nachschauen können, wird die Dichte bei Gasen sehr stark vom [[..:mechanik:druck|Druck]] bzw. vom Behältervolumen abhängen. Bei Flüssigkeiten und Festkörpern spielt der Druck meistens eine untergeordnete Rolle – nicht so bei Gasen.

Ideale und reale Gase

Die nachfolgenden Gasgesetze gelten streng genommen nur für ideale Gase. Wann ist ein Gas ideal? Wir erinnern uns an das Teilchenmodell, wo wir für das Gas gesagt haben, dass es aus freien Einzelteilchen besteht, die frei herumfliegen, ohne Bindung. Das ist genau ein ideales Gas. Im realen Gas sind es immer noch Einzelteilchen, die im Vakuum herumfliegen, sie sind aber nicht 100%ig frei, denn sie spüren einander, d.h. die Teilchen haben eine gegenseitige Wirkung aufeinander.

Ich spreche da nicht davon, dass die Teilchen ineinander zusammenstossen. Das dürfen die Teilchen im idealen Gas auch. Es geht um eine Bindung, die zwar sehr schwach ist, aber nicht mehr ganz vernachlässigbar. In der Flüssigkeit “kleben” die Teilchen aneinander, im realen Gas sind wir noch nicht so weit, aber es geht in diese Richtung.

Wir brauchen an dieser Stelle uns nicht den Kopf darüber zu zerbrechen, was das für Konsequenzen hat. Wir sagen uns einfach, dass es zunehmend zu einer Abweichung vom idealen Verhalten führt, die unsere Gasgesetze beschreiben. Deshalb sollten wir uns immer zuerst fragen, ob wir von einem idealen Gas oder von einem realen Gas sprechen, bevor wir die Gasgesetze anwenden.

Wenn die Teilchen genug schnell unterwegs sind und genug Abstand voneinander haben, werden die Teilchen kaum die Chance haben, sich gegenseitig zu spüren. In diesen Fällen haben wir ideales Verhalten. Das ist der Fall, wenn die Temperatur genug hoch und der Druck genug klein ist.

Unsere Umgebungsluft kann als ideales Gas behandelt werden. Sobald wir die Luft aber sehr stark abkühlen, wird sie irgendwann zu flüssiger Luft. Kurz davor ist die Luft nicht mehr genug warm und gilt deshalb nicht mehr als ideales Gas. Wasserdampf ist im Normalfall nicht ideal, da er schon bald kondensiert. Ist er aber so stark verdünnt, wie in der Umgebungsluft, dann können wir auch den Wasserdampf als ideales Gas betrachten. Er spürt seine Artgenossen nicht, da es so wenige davon hat! Man sagt hier auch, dass der Partialdruck des Dampfes sehr klein ist. Ist der Druck zu gross, wie z.B. in Gasflaschen, so ist das Gas so stark komprimiert, dass nicht mehr ausgeschlossen werden kann, dass die Teilchen sich gegenseitig spüren und beeinflussen.

Vor dem Anwenden der Gasgesetze immer daran denken, dass sie nur für ideale Gase gelten, die eine genug hohe Temperatur (d.h. weit über der Kondensations- oder Resublimationstemperatur) und einen genug tiefen Druck haben (d.h. weit unter dem Kondensations- oder Resublimationsdruck).

Auf dem Weg zu einem universellen Gasgesetz

Wir haben bei Gasen ein Zusammenspiel der folgenden Grössen:

  • Temperatur $T$
  • Druck $p$
  • Volumen $V$
  • Stoffmenge: effektive Anzahl Teilchen $N$ oder Teilchenzahl $n$ in $\text{mol}$

Die Schwierigkeit liegt darin, dass das Verändern einer Grösse meistens zu einer Veränderung aller anderen Grössen führt. Nehmen wir beispielsweise einen aufgeblasenen Luftballon. Wenn wir die Luft im Ballon erwärmen, erhöht sich der Druck, was zu einer Expansion des Ballons führt, d.h. das Volumen nimmt zu, was wiederum zu einer kleinen Abnahme des Drucks führt, was wiederum das Gas leicht abkühlt etc. Das einzig Einfache hier ist die Teilchenzahl. Sie bleibt in der kurzen Zeit konstant, weil der Ballon dicht ist.

Viele Wissenschaftler haben das Verhalten der Gase analysiert und sich der Wahrheit von verschiedenen Seiten angenähert. Dadurch sind verschiedene Gasgesetze entstanden, die letztlich aber nur Spezialfälle des einen universellen Gasgesetzes sind. Wir werden hier die einzelnen Gesetze kurz kennenlernen. In der Praxis reicht es aber aus, das universelle Gasgesetz zu beherrschen und daraus in der Lage zu sein, die einzelnen Gesetze als Spezialfälle abzuleiten.

Gesetz von Boyle-Mariotte

Das Gesetz von Boyle-Mariotte ist benannt nach den Wissenschaftlern R. Boyle (1627-1691) und E. Mariotte (1620-1684), die beide das gleiche Gesetz, unabhängig von einander aufgestellt haben. Beide schauten sich eingeschlossene Gase an und analysierten das Zusammenspiel von Druck und Volumen. Sie fanden ein Gesetz für den Spezialfall, wo die Temperatur und die Stoffmenge konstant gehalten werden (eingeschlossenes Gas).

Das Gesetz von Boyle-Mariotte besagt, dass eine konstante Menge eines Gases ($n$ konstant) bei einer konstanten Temperatur $T$ ein konstantes Produkt von Druck und Volumen hat:

\[ p_1 \cdot V_1 = p_2 \cdot V_2 \qquad (n, T \;\; \text{konstant}) \]

\[ p \cdot V = \text{konstant} \qquad (n, T \;\; \text{konstant}) \]

In der ersten Schreibweise bilden Druck und Volumen des Gaszustandes 1 das gleiche Produkt, wie Druck und Volumen des Gaszustandes 2.

Herleitung

Das Gesetz von Boyle-Mariotte kann, wie auch alle anderen Gasgesetze, einfach aus der idealen Gasgleichung hergeleitet werden. Dazu nehmen wir die universelle Gasgleichung

\[ pV = nRT \]

Jetzt überlegen wir uns welche Grössen beim Prozess konstant bleiben werden. Beim Gesetz von Boyle-Mariotte sind das die Stoffmenge $n$ und die Temperatur $T$. Der Druck $p$ und das Volumen $V$ verändern sich. Wir müssten jetzt an dieser Stelle mit Hilfe von Algebra alle variablen Grössen auf die linke Seite der Gleichung bringen und alle konstanten Grössen auf die rechte Seite der Gleichung. Bei Boyle-Mariotte ist es besonders einfach, denn die sind alle schon am richtigen Ort: Die variablen Grössen $p$ und $V$ stehen schon links und rechts haben wir ausschliesslich konstante Grössen, nämlich $n$, $T$ und $R$, die ja eine Konstante ist. Die Gleichung steht also unverändert:

\[ pV = (nRT) \]

Jetzt besteht die Klammer rechts nur aus konstanten Grössen, d.h. die ganze rechte Seite ist konstant. Wir können deshalb auch schreiben: $p \cdot V = \text{konstant}$ oder

\[ p_1 V_1 = p_2 V_2 \]

womit wir das Gesetz von Boyle-Mariotte erhalten haben.

Gesetz von Avogadro

Der italienische Physiker und Chemiker, A. Avogadro (1776-1856) fand heraus, dass zwei unterschiedliche ideale Gase bei gleichem Volumen und gleicher Temperatur auch den gleichen Druck haben würden. Letztlich wären dann sogar die gleiche Anzahl Teilchen in den beiden Volumina.

Es ist eine sehr bedeutende Eigenschaft. Sie sagt nämlich nichts anderes aus, dass alle idealen Gase sich gleich verhalten, unabhängig davon welches Gas es ist, d.h. ideale Gase sind von der Chemie unabhängig. Hier können wir definitiv das Teilchenmodell anwenden und nur von Teilchen reden, denn es kommt nicht darauf ob es Atome oder Moleküle sind, sondern einfach nur um Teilchen.

Gesetz von Avogadro:

Ein Mol eines idealen Gases bei $T=0\text{°C}$ und bei einem Druck von $p=1.013\;\text{bar}$ (1 Atmosphäre) hat ein Volumen von $22,4\;\text{l}$.

Die Dichte des Gases bleibt bei gleichem Druck und gleicher Temperatur konstant, d.h. das Volumen $V$ ist proportional zur Anzahl Teilchen $n$:

\[ \frac{V_1}{n_1} = \frac{V_2}{n_2} \qquad (p, T \;\; \text{konstant}) \]

\[ \frac{V}{n} = \text{konstant} \qquad (p, T \;\; \text{konstant}) \]

Beispiel

Zeige, dass ein Atemzug eines Erwachsenen weniger als $0.16\;\text{mol}$ Luft enthält, wenn die Lunge ein Volumen von $3.5\;\text{l}$ hat.


Wenn ein Mol eines idealen Gases $22.4\;\text{l}$ Volumen einnimmt, dann nehmen $3.5\;\text{l}$ nur $\frac{3.5}{22.4}$-Anteile eines Mols bei $T=0\text{°C}$ und bei einem Druck von $p=1.013\;\text{bar}$ (1 Atmosphäre):

\[ \frac{3.5}{22.4}\;\text{mol} = 0.156\;\text{mol} \]

Der Druck entspricht dem üblichen Luftdruck und der herrscht auch in der Lunge. Da die Luft in der Lunge sich aber schnell erwärmen würde, weichen wir von $T=0\text{°C}$ ab. Ein Gas ist bei höherer Temperatur weniger dicht, d.h. wir haben dann schnell weniger Teilchen als die oben berechneten $0.156\;\text{mol}$.

Gesetz von Charles (Gay-Lussac 1)

Diese nach Jacques Charles(1746–1823) benannte Gesetz wird oft auch Erstes Gesetz von Gay-Lussac bezeichnet. J.L. Gay-Lussac(1778–1850) und Charles entdeckten das Gesetz anfangs des 19. Jahrhunderts. Das Gesetz nach Gay-Lussac wird noch etwas anders formuliert, als wir es hier tun.

Für dieses Gesetz werden Druck und Stoffmenge konstant gehalten. Wenn wir das Gas erwärmen, d.h. die Temperatur erhöhen und der Druck konstant bleibt, dann verlangen die schneller werdenden Teilchen mehr Platz und den kriegen sie auch, denn der Druck darf ja nicht zunehmen. Wir können uns das mit einem Plastiksack vorstellen, der halb mit Gas gefüllt ist. Wenn wir den Inhalt erwärmen, bläst sich der Inhalt leicht auf und nimmt ein grösseres Volumen ein.

Das Gesetz von Charles besagt, dass das Volumen $V$ und die absolute Temperatur $T$ (in $\text{K}$!) proportional zu einander bleiben. Dafür müssen Druck und die Stoffmenge konstant gehalten werden:

\[ \frac{V_1}{T_1} = \frac{V_2}{T_2} \qquad (p, n \;\; \text{konstant}) \]

\[ \frac{V}{T} = \text{konstant} \qquad (p, n \;\; \text{konstant}) \]

Wir können die Existenz eines absoluten Nullpunkts der Temperatur aus diesem Gesetz ableiten. Aus der zweiten Formulierung des Gesetzes mit einer positiven Konstanten $k$ können wir schreiben:

\[ \frac{V}{T} = k \quad \rightarrow \quad V = k \cdot T \]

Das Volumen kann sicher nicht negativ sein, es kann also minimal null sein. In diesem Fall und weil die Konstante $k$ positiv ist, kann die Temperatur sicher nicht negativ sein, sondern minimal null. Somit muss es einen absoluten Temperatur-Nullpunkt geben. Auf diese Erkenntnis kam G. Amontons (1663-1705), der auf diese Weise als er als Erster das Vorhandensein eines absoluten Temperatur-Nullpunkts postulierte.

Beispiel

Umgebungsluft ist in einem Zylinder mit einem beweglichen Kolben eingeschlossen. Durch den beweglichen Kolben kann das Volumen vergrössert oder verkleinert werden. Jetzt wird die Luft erwärmt, so dass sie beginnt sich auszudehnen.

Auf welche Temperatur müsste die eingeschlossene Luft erwärmt werden, bis sich das Volumen verdoppelt hat?


Umgebungsluft ist in diesem Fall ein ideales Gas, d.h. wir können die Gasgesetze anwenden. Wir erkennen, dass der Druck $p$ und die Stoffmenge $n$ konstant bleiben, weil der Kolben nicht von aussen eindrückt oder herausgezogen wird und das Gas ja eingeschlossen ist. Wir notieren das Gesetz von Charles und ersetzen das neue Volumen $V_1$ mit $2V_0$:

\[ \frac{V_0}{T_0} = \frac{V_1}{T_1} = \frac{2V_0}{T_1} \]

Jetzt dividieren wir durch $V_0$ und lösen nach der Unbekannten $T_1$ auf:

\[ \frac{1}{T_0} = \frac{2}{T_1} \quad \rightarrow \quad T_1 = 2T_0 \]

Angenommen, die Umgebungstemperatur beträgt $T_0=300\;\text{K}$, dann ist $T_1=2T_0=600\;\text{K}=\underline{327\text{°C}}$.

Gesetz von Amontons (Gay-Lussac 2)

Abgesehen von der Voraussage eines absoluten Temperatur-Nullpunkts, fand G. Amontons (1663-1705) heraus, dass ein eingeschlossenes Gas, d.h. eine konstante Stoffmenge in einem Behälter mit konstantem Volumen sich so verhielt, dass der Druck und die Temperatur proportional zueinander blieben.

Erhöht man die Temperatur z.B. um 10%, so erhöht sich der Druck ebenfalls um 10%. Das ist auch ein lineares Verhalten, d.h. die Messpunkte würden in einem $p,T$-Diagramm auf einer Geraden liegen (siehe dazu Amontons Experiment).

Das Gesetz von Amontons besagt, dass der Druck $p$ und die absolute Temperatur $T$ (in $\text{K}$!) proportional zu einander bleiben. Dafür müssen das Volumen und die Stoffmenge konstant gehalten werden:

\[ \frac{p_1}{T_1} = \frac{p_2}{T_2} \qquad (n, V \;\; \text{konstant}) \]

\[ \frac{p}{T} = \text{konstant} \qquad (n, V \;\; \text{konstant}) \]

Ideale Gasgleichung

Im Jahr 1834 formulierte der französische Physiker Émile Clapeyron (1779-1864) das universelle Gasgesetz, das die bisherigen Gasgesetze unter ein Dach stellte.

Das universelle Gasgesetz gilt für ideale Gase und wird auch ideale Gasgleichung genannt. Sie verknüpft die Grössen Druck $p$, Volumen $V$, Stoffmenge $n$ bzw. $N$ und Temperatur $T$. Bei der Stoffmenge kann, je nach Anwendung, die effektive Zahl der Teilchen $N$ oder die Anzahl $n$ in $\text{mol}$ eingesetzt werden. Die Temperatur ist eine absolute Temperatur und muss in jedem Fall in $\text{K}$ eingesetzt werden.

\[ pV = nRT \]

\[ pV = N k_B T \]

$R$ ist die universelle Gaskonstante: $R = 8.3145\;\frac{\text{J}}{\text{mol K}}$

$k_B$ ist die Boltzmann-Konstante: $k_B=1.3806 \cdot 10^{-23}\;\frac{\text{J}}{\text{K}}$

Als Folge des Gesetzes von Avogadro gilt das universelle Gasgesetz für alle idealen Gase gleich, unabhängig vom eigentlichen Stoff.

Beispiel

Leite das Gesetz von Boyle-Mariotte aus der universellen Gasgleichung ab.


Wir erinnern uns, dass im Gesetz von Boyle-Mariotte die Temperatur und die Stoffmenge konstant gehalten werden. Mit dem im Hinterkopf schauen wir uns die universelle Gasgleichung an:

\[ pV = nRT \]

Auf der rechten Seite haben wir die Stoffmenge $n$ und die Temperatur $T$. Wenn diese beiden Grössen konstant gehalten werden, dann ist die ganze rechte Seite der Gleichung eine Konstante, denn die universelle Gaskonstante $R$ ist selber schon eine Konstante:

\[ pV = nRT = \text{konstant} \]

Wir erhalten somit $pV = \text{konstant}$, was schon das Gesetz von Boyle-Mariotte ist. Wir können aber einen Schritt weitergehen und sagen: Wenn wir einen Zustand 1 eines idealen Gases haben, mit $p_1$ und $V_1$, dann muss die universelle Gasgleichung erfüllt sein.

\[ p_1V_1 = nRT = k \]

Dabei ist $k$ wieder irgendeine Konstante Grösse. Verändern wir den Druck zu $p_2$, so muss $V_2$ sich entsprechend anpassen, damit die rechte Seite der Gleichung weiterhin $k$ ist, d.h.

\[ p_2V_2 = nRT = k \]

Somit folgt das Gesetz von Boyle-Mariotte:

\[ p_1V_1 = p_1V_1 = k \qquad (n, T\;\; \text{konstant}) \]

Aufgabensammlung

  • Diverse Aufgaben (0112)

  • Erdgas (0111)

  • Fahrradpumpe (0110)

  • Luftballon (0113)