Gasgesetze

Gase komprimieren und expandieren

Was macht Gase einzigartig? Im Gegensatz zu Festkörpern und Flüssigkeiten, sind Gase nicht an einem Volumen gebunden.

Bei einem Feststoff oder einer Flüssigkeit ist die Dichte eigentlich immer etwa gleich, weil für einen Stoff eine bestimmte Anzahl Teilchen immer etwa gleich viel Platz einnimmt. Gemäss Teilchenmodell sind die Teilchen nahe zusammen, d.h. wir haben ein Feststoff-Partikel oder einen Flüssigkeits-Tropfen.

Wie “gross” sind \(1\;\text{g}\) Gestein oder \(1\;\text{g}\) Wasser? Wir können uns das vorstellen: Es ist etwas in der Grösse eines Kieselsteinchens oder eines grossen Tropfens.

Wie “gross” sind \(1\;\text{g}\) Luft? Das können wir nicht beantworten. Ist es Umgebungsluft, dann kann man sich merken, dass \(1\;\text{m}^3\) Luft etwa \(1\;\text{kg}\) entsprechen. Somit nimmt \(1\;\text{g}\) Umgebungsluft etwa einen Liter Volumen ein.

Im Reifen eines Rennrads ist diese gleiche Umgebungsluft aber rund zehnfach komprimiert und würde in einem Deziliter Platz finden. Ein starker Kompressor könnte die gleiche Luft nochmals zehnfach komprimieren auf einen Zentiliter.

Wenn wir also bei Festkörpern und Flüssigkeiten die Dichte einfach in einer Tabelle nachschauen können, wird die Dichte bei Gasen sehr stark vom Druck bzw. vom Behältervolumen abhängen.

Natürlich kennen wir bei Flüssigkeiten und Feststoffen die Wärmeausdehnung. Sie ist jedoch meist um einige Grössenordnungen kleiner unddeshalb von Auge meist nicht sichtbar.

Bei Flüssigkeiten und Festkörpern spielt die Temperatur noch eine gewisse Rolle, jedoch ist der Druck meistens unbedeutend.

Bei Gasen spielt der Druck eine gewaltige Rolle!

Ideale und reale Gase

Die Gasgesetze gelten streng genommen nur für ideale Gase. Stellt sich also die Frage: Wann ist ein Gas ideal?

Wir erinnern uns an das Teilchenmodell, wo wir für das Gas gesagt haben, dass es aus freien Einzelteilchen besteht, die frei herumfliegen, ohne Bindung. Das ist genau ein ideales Gas.

Im realen Gas sind es immer noch Einzelteilchen, die im Vakuum herumfliegen. Sie sind aber nicht 100%-ig frei, denn sie spüren einander, d.h. die Teilchen haben eine gegenseitige Wirkung aufeinander.

Ich spreche da nicht davon, dass die Teilchen ineinander zusammenstossen. Das dürfen die Teilchen im idealen Gas auch. Es geht um eine Bindung, die zwar sehr schwach ist, aber nicht mehr ganz vernachlässigbar. In der Flüssigkeit “kleben” die Teilchen regelrecht aneinander. Im realen Gas sind wir noch nicht so weit, aber es geht in diese Richtung.

Wenn die Teilchen genug schnell unterwegs sind und genug Abstand voneinander haben, werden die Teilchen kaum die Chance haben, sich gegenseitig zu spüren. In diesen Fällen haben wir ideales Verhalten.

Unsere Umgebungsluft kann als ideales Gas behandelt werden.

Wasserdampf ist im Normalfall nicht ideal, da er schon bald kondensiert. Ist er aber so stark verdünnt, wie in der Umgebungsluft, dann können wir auch den Wasserdampf als ideales Gas betrachten. Er spürt seine Artgenossen nicht, da es so wenige davon hat! Der Partialdruck des Dampfes ist zu klein.

Wird das Gas sehr stark abgekühlt oder steht es unter sehr grossem Druck, wie z.B. in Gasflaschen, so kann nicht mehr ausgeschlossen werden, dass die Teilchen sich gegenseitig spüren und beeinflussen. Wir haben nicht mehr ideales Verhalten und die Gasgesetze gelten so nicht mehr.

Vor dem Anwenden der Gasgesetze immer daran denken, dass sie nur für ideale Gase gelten, die eine genug hohe Temperatur (d.h. weit über der Kondensations- oder Resublimationstemperatur) und einen genug tiefen Druck haben (d.h. weit unter dem Kondensations- oder Resublimationsdruck).

Auf dem Weg zu einem universellen Gasgesetz

Wir haben bei Gasen ein Zusammenspiel der folgenden Grössen:

• Temperatur \(T\)
• Druck \(p\)
• Volumen \(V\)
• Stoffmenge: effektive Anzahl Teilchen \(N\) oder Teilchenzahl \(n\) in \(\text{mol}\)

Die Schwierigkeit liegt darin, dass das Verändern einer Grösse meistens zu einer Veränderung aller anderen Grössen führt. Nehmen wir beispielsweise einen aufgeblasenen Luftballon. Wenn wir die Luft im Ballon erwärmen, erhöht sich der Druck, was zu einer Expansion des Ballons führt, d.h. das Volumen nimmt zu, was wiederum zu einer kleinen Abnahme des Drucks führt, was wiederum das Gas leicht abkühlt etc. Das einzig Einfache hier ist die Teilchenzahl. Sie bleibt in der kurzen Zeit konstant, weil der Ballon dicht ist.

Viele Wissenschaftler haben das Verhalten der Gase analysiert und sich der Wahrheit von verschiedenen Seiten angenähert. Dadurch sind verschiedene Gasgesetze entstanden, die letztlich aber nur Spezialfälle sind, eines einzigen universellen Gasgesetzes.

Wir werden hier die einzelnen Gesetze kurz kennenlernen. In der Praxis reicht es aber aus, das universelle Gasgesetz zu beherrschen und daraus in der Lage zu sein, die einzelnen Gesetze als Spezialfälle abzuleiten.

Gesetz von Boyle-Mariotte

Das Gesetz von Boyle-Mariotte besagt, dass eine konstante Menge eines Gases (\(n\) konstant) bei einer konstanten Temperatur (\(T\)) ein konstantes Produkt von Druck und Volumen hat:

\[ p_1 \cdot V_1 = p_2 \cdot V_2 \qquad (n, T \;\; \text{konstant}) \]

\[ p \cdot V = \text{konstant} \qquad (n, T \;\; \text{konstant}) \]

In der ersten Schreibweise bilden Druck und Volumen des Gaszustandes 1 das gleiche Produkt, wie Druck und Volumen des Gaszustandes 2.

Gesetz von Avogadro

Gemäss dem Gesetz von Avogadro hat ein Mol eines idealen Gases bei \(T=0\text{°C}\) und bei einem Druck von \(p=1.013\;\text{bar}\) (1 Atmosphäre) ein Volumen von \(22,4\;\text{l}\).

Die Dichte des Gases bleibt bei gleichem Druck und gleicher Temperatur konstant, d.h. das Volumen \(V\) ist proportional zur Anzahl Teilchen \(n\):

\[ \frac{V_1}{n_1} = \frac{V_2}{n_2} \qquad (p, T \;\; \text{konstant}) \]

\[ \frac{V}{n} = \text{konstant} \qquad (p, T \;\; \text{konstant}) \]

Gesetz von Charles (Gay-Lussac 1)

Das Gesetz von Charles besagt, dass das Volumen \(V\) und die absolute Temperatur \(T\) (in \(\text{K}\)!) proportional zu einander bleiben. Dafür müssen Druck und die Stoffmenge konstant gehalten werden:

\[ \frac{V_1}{T_1} = \frac{V_2}{T_2} \qquad (p, n \;\; \text{konstant}) \]

\[ \frac{V}{T} = \text{konstant} \qquad (p, n \;\; \text{konstant}) \]

Gesetz von Amontons (Gay-Lussac 2)

Nach dem Gesetz von Amontons sind der Druck \(p\) und die absolute Temperatur \(T\) (in \(\text{K}\)!) proportional zu einander. Dafür müssen das Volumen und die Stoffmenge konstant gehalten werden:

\[ \frac{p_1}{T_1} = \frac{p_2}{T_2} \qquad (n, V \;\; \text{konstant}) \]

\[ \frac{p}{T} = \text{konstant} \qquad (n, V \;\; \text{konstant}) \]

Mit seinem Experiment mass G. Amontons (1663-1705) den Druck bei unterschiedlichen Temperaturen von einem eingeschlossenen Gas (\(n\) konstant) in einem festen Behälter (\(V\) konstant).

Durch Extrapolation hin zu kleineren Drücken, sagte er voraus, dass bei einer Temperatur von ca. -240 °C der Druck null sein würde. Damit sagte er als Erster den absoluten Temperaturnullpunkt voraus.

Ideale Gasgleichung

Im Jahr 1834 formulierte der französische Physiker Émile Clapeyron (1779-1864) das universelle Gasgesetz, das die bisherigen Gasgesetze alle in einer Formel vereinte:

\[ pV = nRT \]

Dabei ist \(R\) die universelle Gaskonstante: \(R = 8.3145\;\frac{\text{J}}{\text{mol K}}\).

In der Physik wird oft auch in sehr kleinem Massstab gerechnet und gemessen. Für diesen Fall gibt es die ideale Gasgleichung für die Anzahl Teilchen \(N\):

\[ pV = N k_B T \]

Hier wird statt der Gaskonstante \(r\) die Boltzmann-Konstante \(k_B\) verwendet: \(k_B=1.3806 \cdot 10^{-23}\;\frac{\text{J}}{\text{K}}\)