Was macht ein System schwingungsfähig?

Schwingungen sind ein physikalisches Phänomen, das an unterschiedlichsten Orten beobachtet werden kann: Die Saite eines Saiteninstruments kann einmal kurz gezupft werden und wir beobachten dann, wie die Saite schnell hin- und her schwingt. Wir können aber auch elektrische Ladungen in einem Leiter zum Schwingen bringen und so einen Wechselstrom erzeugen (elektrischer Schwingkreis).

Warum bildet die Saite ein schwingfähiges System? Durch das Zupfen wurde die Saite aus ihrer Ruhelage gebracht und sie wurde auch etwas angespannt. Es wurde an ihr Arbeit verrichtet (Spannarbeit), d.h. sie hat etwas Energie erhalten.

Federkräfte bringen die Saite wieder zurück in ihre ursprüngliche Position. Allerdings hat die Saite auch eine gewisse Masse und ist deshalb etwas träge. Sie wird nicht einfach plötzlich still stehen, sobald sie die Ruhelage wieder erreicht hat, sondern wird etwas “überschwingen” und sich auf der anderen Seite wieder etwas dehnen. Das wird sie tun, bis auch hier eine Kraft so gross ist, dass sie wieder vollständig abgebremst wird. Diese Kraft wird die Saite wieder zurückschicken. Wegen der Trägheit wird die Saite die Ruhelage wieder verpassen usw.

Physikalische Systeme erzeugen dann Schwingungen, wenn…

  • …sie Energie aufnehmen und damit eine Ruhelage minimaler Energie verlassen
  • …es eine Rückstellkraft gibt, die das System wieder in die Ruhelage bringen will
  • …es eine Trägheit gibt, die macht, dass die Ruhelage “verpasst” wird

Wichtigste Schwingungssysteme

Wir schauen uns hier ein paar typische Schwingungssysteme an. Meistens können schwingende Systeme auf diese Grundsysteme zurückgeführt werden. Eine Brücke kann beispielsweise als Federpendel angesehen werden (siehe folgende Abbildung). Die Masse der Brücke macht die Trägheit bei der Schwingung aus. Jedes Material, sogar armierter Beton, ist elastisch und wirkt deshalb wie eine Feder. Die Federkraft übernimmt hier die Rolle der Rückstellkraft.

Federpendel
Beim Federpendel schwingt eine Masse $m$ hin und her. Die Rückstellkraft ist die Federkraft, die aufgrund der Auslenkung $x(t)$ und der Feder mit Federkonstante $k$ entsteht.

Wenn die Rückstellungskraft nicht von einer Feder kommt, sondern von der Gravitation der Erde, haben wir das sog. Fadenpendel.

Fadenpendel
Beim Fadenpendel schwingt, wie bei einem Pendel einer Wanduhr, eine Masse $m$, die an einem Faden der Länge $L$ hängt. Die Schwingung des Fadenpendels ist überraschenderweise von der Masse unabhängig und ist nur bei kleinen Ausschlägen eine rein harmonische Schwingung.

Wenn wir einen geladenen Kondensator mit einer Spule verbinden, fliesst kurzzeitig ein Strom, der in der Spule ein Magnetfeld aufbaut. Sobald der Kondensator entladen ist, übernimmt die Spule die treibende Kraft und baut ihr Magnetfeld ab. Das abnehmende Magnetfeld induziert über der Spule eine Spannung und ein Strom fliesst. Dieser lädt seinerseits den Kondensator wieder auf usw.

Elektrischer Schwingkreis
In einem Stromkreis mit einem Kondensator (Kapazität $C$) und einer Spule (Induktivität $L$) kann der Strom zum Schwingen gebracht werden. Es entsteht ein sinusförmiger Wechselstrom $I(t)$.

Beachte, dass anfangs auch hier eine gewisse Menge an Energie dem System zur Verfügung gestellt worden ist. Der geladene Kondensator enthält elektrische Energie. Sobald der Kondensator entladen ist, befindet sich die Energie in Form eines Magnetfelds in der Spule. Diese geht zurück zum Kondensator etc.

Die wichtigsten Schwingungsysteme für uns sind:

  • Federpendel
  • Fadenpendel
  • Elektrischer Schwingkreis

Unterschiedliche Arten von Schwingungen

Wir unterscheiden verschiedene Arten von Schwingungen, indem wir deren zeitlichen Verlauf uns anschauen.

Die harmonische Schwingung wird mit einer Sinus-Funktion beschrieben. Sie kann natürlich auch mit einer Kosinus-Funktion beschrieben werden, da der Kosinus dem Sinus entspricht, nur mit einem Phasenunterschied von 90°.

Harmonische Schwingungen
Harmonische Schwingungen haben einen sinusförmigen Verlauf über die Zeit.

Wenn der Verlauf der Schwingung sich zwar regelmässig wiederholt, jedoch kein sinusförmiger Verlauf ist, sprechen wir von einer periodischen Funktion und von einer nicht-harmonischen Schwingung. Interessanterweise ist jede nicht-harmonische Schwingung eine Summe von verschiedenen harmonischen Funktionen mit unterschiedlichen Frequenzen (Fourier-Transformation).

Nicht-harmonische Schwingungen
Nicht-harmonische Schwingungen haben einen periodischen, jedoch nicht sinus-förmigen Verlauf. Mit Hilfe der Fourier-Transformation kann der Verlauf der nicht-harmonischen Schwingung in eine Summe von harmonischen Schwingungen mit verschiedenen Frequenzen umgewandelt werden.

Reale Schwingungen sind einer gewissen Reibung unterworfen, die energetisch einen Teil der Energie durch Reibungsarbeit in Wärme (thermische Energie) umwandelt. Diese Energie steht dem Schwingsystem nicht mehr zur Verfügung.

Wir beobachten, wie die Schwingung schwächer wird. Die Amplitude nimmt ab. Wir sprechen auch von gedämpfter Schwingung.

Gedämpfte Schwingungen
Gedämpfte Schwingungen sind v.a. daran zu erkennen, dass die Amplitude meist exponentiell abnimmt

Wenn der Verlauf der Schwingung chaotisch und weitgehend zufällig ist, sprechen wir von Rauschen. Die zufällige thermische Bewegung erzeugt Rauschen. Charakteristisch am Rauschen ist, dass die verschiedenen Frequenzen im Schnitt alle gleich stark vertreten sind – es gibt keine vorherrschende Frequenz.

Rauschen
Als weisses Rauschen wird ein rein zufälliger Verlauf beschrieben, meist auch mit hohen Frequenzen.