Schwebung

Wenn wir eine Stimmgabel anschlagen, bleibt nach kurzer Zeit ein Ton vorherrschend. Es ist eine bestimmte Frequenz, die der Eigenfrequenz der Stimmgabel entspricht.

Die Stimmgabel ist im wesentlichen ein Federpendel, d.h. eine träge Masse, die mit einer Federkraft zurückgestellt wird. Verschieden grosse Stimmgabeln (\(\omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}}\)) haben deshalb verschiedene Eigenfrequenzen \(\omega_0\). Die harmonische Schwingung überträgt sich auf die umgebende Luft, so dass eine Schallwelle mit der gleichen Frequenz \(f\) ausgesendet wird.

Das Phänomen der Schwebung entsteht, sobald zwei Wellen bzw. Schwingungen mit fast gleichen, jedoch leicht verschiedenen Frequenzen einander überlagert werden. ist deshalb besonders interessant, weil wir sie mathematisch sehr gut nachvollziehen können.

Eine solche Überlagerung von zwei Tönen zeigt eine typische an- und abschwellende Intensität.

Mathematische Herleitung

Die Wellenfunktion der harmonischen Schallwelle, die eine Stimmgabel abgibt, kann wie folgt formuliert werden:

\[ f_1(x,t) = A \cdot \sin(k_1 x – \omega_1 t) \]

Jetzt nehmen wir eine zweite, gleich grosse Stimmgabel. Wir befestigen jetzt aber eine kleine Masse an die Stimmgabel, damit die Eigenfrequenz ganz leicht tiefer liegt: \(\omega_2 = \omega_1 – \Delta \omega\):

\[ f_2(x,t) = A \cdot \sin(k_2 x – \omega_2 t) = A \cdot \sin(k_2 x – \omega_1 t + \Delta \omega t) \]

Wir überlagern die beiden Wellen und machen daraus eine einzige Schallwelle. Wir können den Ort von unserem Trommelfell fixieren und für ihn \(x=0\) setzen. Die Überlagerung \(f_1(x,t)+f_2(x,t)\) wird dann zu:

\[ f_1(0,t) + f_2(0,t) = A \cdot \sin(-\omega_1 t) + A \cdot \sin(-\omega_2 t) \]

Wir benutzen jetzt eine Identität aus der Trigonometrie, d.h. eine Formel, die rein mathematisch gilt:

\[ \sin(a) + \sin(b) = 2 \cdot \sin\Big(\frac{a+b}{2}\Big) \cdot \cos \Big( \frac{a-b}{2} \Big) \]

In unserem Fall gilt \(a=\omega_1\) und \(b=\omega_2\), d.h.

\[ \frac{a+b}{2} = \frac{-\omega_1 t -\omega_1 t – \Delta \omega t}{2} = -\omega_1 t -\frac{\Delta \omega t}{2} \]

\[ \require{cancel} \frac{a-b}{2} = \frac{-\cancel{\omega_1 t} + \cancel{\omega_1 t} + \Delta \omega t}{2} = \frac{\Delta \omega t}{2} \]

Wir setzen das jetzt in die Identität oben ein:

\[ f_1(0,t) + f_2(0,t) = 2A \cdot \sin \Big(-\omega_1 t – \frac{\Delta \omega t}{2}\Big) \cdot \cos \Big( \frac{\Delta \omega t}{2} \Big) \]

Den Kosinus nehmen wir nach vorne, weil er quasi zur Amplitude gehört und im Sinus vereinfachen wir den Ausdruck:

\[ = \Big[ 2A \cos\big(\frac{\Delta \omega t}{2}\big)\Big] \cdot \sin\Big( \big(-\omega_1 – \frac{\Delta \omega}{2}\big) \cdot t \Big) \]

Wir sehen, dass der Sinus jetzt als Frequenz den Mittelwert der beiden Schwingungen angenommen hat, nämlich die höhere Frequenz \(\omega_1\) um die halbe Differenz \(\Delta \omega\) reduziert. Die Amplitude dieser Schwingung ist der ganze Klammerausdruck in eckigen Klammern.

Sie schwingt selber auch, jedoch mit einer viel kleineren Frequenz \(\Delta \omega << \omega_1\). Wenn eine konstante Amplitude die horizontale Ober- und Untergrenze für mögliche Ausschläge gibt, ist hier die Ober- und Untergrenze selber ein Kosinus, d.h. der Kosinus formt die Umhüllende um die Schwingung herum, die langsamer zu- und abnimmt, als die Schwingung selber.