Das Wichtigste in Kürze
Die Statik ist das Konzept in der Mechanik, wo wir ein Kräftegleichgewicht und ein Drehmomentgleichgewicht verlangen, damit ein Gebäude, eine Brücke oder eine sonstige Struktur in Ruhe ist und auch bleibt.
Gemäss Newtons Erstem Gesetz erreichen wir das, indem wir eine resultierende Kraft und ein resultierendes Drehmoment für das System haben, die beide null sind.
Herrscht kein solches Gleichgewicht, wird das System beschleunigt und wir haben einen Fall der Dynamik.
Durch geschicktes Wählen der Systemgrenzen können auch innere Kräfte bestimmt werden, die vom Material übernommen werden müssen.
Ist das Material zu schwach, reisst es an der Stelle, wo die Kraft die erlaubte Höchstkraft übersteigt.
Häufigste Fragen
“Damit eine (bauliche) Struktur weder nach unten abfällt, noch irgendwie umkippt, wird gleichzeitiges Kräftegleichgewicht und Drehmomentgleichgewicht verlangt.“
Die wohl wichtigste Anwendung der Statik finden wir im Bau: Gebäude, Türme, Brücken, Tunnel etc. All diese Bauwerke sollen möglichst lange halten.
Die Statik ist das Konzept in der Mechanik, wo wir ein Kräftegleichgewicht und ein Drehmomentgleichgewicht haben. Ein solches Gleichgewicht bedeutet, dass die resultierende Kraft und das resultierende Drehmoment für das System verschwinden:
\[ F_{res} = 0 \qquad \qquad M_{res}=0 \]
Gemäss Newtons Erstem Gesetz verändert ein solches System seine Geschwindigkeit nicht, d.h. wenn es in Ruhe ist, verbleibt es in Ruhe.
Wäre eine Struktur einer nicht verschwindenden resultierenden Kraft \(F_{res}\) ausgesetzt, so würde diese die Struktur gemäss Newtons Zweitem Gesetz beschleunigen (z.B. zusammenkrachend nach unten).
Das gleiche Prinzip kann auf die Ebene der Drehmomente übertragen werden. In der Statik wird ein Drehmomentgleichgewicht verlangt, damit das System nicht gemäss den Regeln der Dynamik von einem resultierenden Drehmoment \(M_{res}\) in Drehung gebracht wird (z.B. Herunterkippen).
Damit eine (bauliche) Struktur weder nach unten abfällt, noch irgendwie umkippt, wird gleichzeitiges Kräftegleichgewicht und Drehmomentgleichgewicht verlangt.
Durch geschicktes Wählen der Systemgrenzen können auch innere Kräfte bestimmt werden. Diese inneren Kräfte müssen vom Material übernommen werden. Ist das Material zu schwach, reisst es an der Stelle, wo die Kraft am grössten ist (siehe Beispiel der Brücke).
Beispiel: Wurzel eines Urwaldbaums
Ein Urwaldbaum erfährt in seiner Krone eine Windkraft. Zeige, wie aus statischer Überlegung es ganz bestimmte Kräfte an der Wurzel braucht, um den Baum im Gleichgewicht zu behalten.
Die Windkraft \(F_4\) braucht eine gleich grosse, aber entgegengesetzte Wurzelkraft \(F_3\). Damit haben wir bereits ein Kräftegleichgewicht in horizontaler Richtung, da die resultierende Kraft in horizontaler Richtung verschwindet.
Die Windkraft \(F_4\) erzeugt über die Höhe des Baumes ein Drehmoment in Gegenuhrzeigerrichtung \(M_1\) (vom Punkt A aus betrachtet). Die Wurzel muss deshalb Kräfte aufnehmen, so dass dieses Drehmoment durch ein gleich grosses, aber entgegengesetztes Drehmoment \(M_2\) neutralisiert wird.
Eine Kraft durch A kann kein Drehmoment von A aus aufbauen, da wir keinen Abstand haben. Am anderen Wurzelende können wir aber mit einer vertikalen Kraft \(F_2\) ein solches Drehmoment erzeugen.
Die Kraft muss nach unten zeigen, damit das Drehmoment entgegengesetzt zu \(M_1\), d.h. im Uhrzeigersinn zeigt. Da der Abstand zu A relativ klein ist, muss die Kraft relativ gross sein. Dank \(F_2\) haben wir jetzt Drehmomentgleichgewicht.
Mit der Einführung der Kraft \(F_2\) haben wir das Kräftegleichgewicht in vertikaler Richtung verloren. Wir führen wieder eine Wurzelkraft ein, die die Kraft \(F_2\) neutralisiert. Die Kraft \(F_1\) ist gleich im Betrag, aber nach oben gerichtet. Damit haben wir jetzt auch wieder Kräftegleichgewicht in der vertikalen Richtung.
Beachte, dass \(F_1\) durch A geht, damit wir keine neuen Drehmoment erzeugen. Denn sonst würden wir das eben gewonnene Drehmomentgleichgewicht wieder zunichte machen.
Mit den Kräften \(F_1\), \(F_2\) und \(F_3\) haben wir Kräftegleichgewicht in horizontaler und vertikaler Richtung, sowie ein Drehmomentgleichgewicht. Sofern die Wurzel und der Boden die verlangten Kräfte und der Baumstamm die Drehmomente aufnehmen können, wird der Baum dem Wind widerstehen können.
Was macht die Stärke eines Stahlträgers aus?
Am obigen Beispiel des Urwaldbaumes haben wir gesehen, dass die Breite der Wurzel eine wichtige Rolle spielt: Wir brauchen ein Drehmoment, das das belastende Drehmoment wieder ausgleicht und das Drehmomentgleichgewicht herstellt.
Das Drehmoment muss eine bestimmte Stärke und die richtige Richtung haben. Die Stärke des Drehmoments setzt sich aus dem Abstand und dem Betrag der Kraft zusammen:
\[ M = a \cdot F \]
Mit einem grösseren Abstand erreichen wir das gleiche Resultat mit einer kleineren Kraft.
Beim Urwaldbaum war dieser Abstand die Breite der Wurzel. Je breiter die Wurzel, desto grösser kann der Baum sein, ohne dass er umkippt.
Im Bau müssen Stahlträger Decken oder Brücken über eine bestimmte Distanz tragen. Die Belastung entsteht durch Kräfte, die aber v.a. grosse belastende Drehmomente erzeugen.
Wenn wir den Baumstamm um 90° gedreht denken, sehen wir, dass auch der Stahlträger grosse Drehmomente übernehmen kann, wenn er möglichst breit ist.
Beispiel: Zu schwache Brücke
Zeichne die Kräfte für die linke Hälfte (System) ein. Das Material der Brücke verträgt Zugkräfte von max. 12 Häuschen. Wo entsteht ein Riss?
Zeige auch, dass eine Brücke, die 3 Häuschen breit ist, die Belastung aushält.
Eine Brücke wird in ihrer Mitte von einer Kraft von 5 Häuschen belastet.
Ganz am Anfang haben wir eine vertikale Belastung von 5 Häuschen nach unten und die beiden Auflager, die je 2.5 Häuschen als Normalkraft nach oben bringen. Damit wäre die ganze Brücke schon im Kräftegleichgewicht.
Um die inneren Kräfte in der Mitte der Brücke zu bestimmen, werden wir die linke Hälfte der Brücke als unser System betrachten und alle Kräfte, die auf dieses System wirken, einführen und besprechen. Die inneren Kräfte in der Mitte der Brücke sind jetzt äussere Kräfte, die auf die linke Brückenhälfte wirken.
Für die linke Hälfte der Brücke haben wir erst dann ein vertikales Kräftegleichgewicht, wenn wir noch die Schubkraft von 2.5 Häuschen nach oben in der Mitte einzeichnen. Mit dieser Kraft stützt die rechte Hälfte unsere linke Hälfte.
Jetzt haben wir zwar vertikales Kräftegleichgewicht, aber kein Drehmomentgleichgewicht!
Die beiden Kräfte, die an der Mitte der Brücke wirken, haben einen Abstand von je 12 Häuschen zum Punkt A. Die rote Kraft hat 5 Häuschen nach unten und die blaue Kraft 2.5 Häuschen nach oben. Das macht zusammen 2.5 Häuschen nach unten. Für das Drehmoment gibt das:
\[ M = 12 \cdot 2.5 = 30 \]
Um Drehmomentgleichgewicht zu erreichen, müssen wir dieses 30-er-Drehmoment kompensieren. Das tun wir mit einer horizontalen Kraft auf der oberen Seite der Brücke.
Von A aus gesehen, beträgt der Abstand nur 2 Häuschen, so dass die Kraft 15 Häuschen gross sein muss, damit sie ein Drehmoment von 30 erreichen kann.
Um das horizontale Kräftegleichgewicht zu retten, mussten wir die horizontale Gegenkraft unten an der Brücke einführen.
Jetzt haben wir alle Kräfte, die die Statik verlangt. Wir haben vertikales und horizontales Kräftegleichgewicht. Zudem haben wir vom Punkt A aus ein Drehmomentgleichgewicht (wir könnten jetzt auch einen anderen Punkt wählen und wir würden sehen, dass das Drehmomentgleichgewicht immer noch gilt).
Mit 15 Häuschen ist die Zugkraft unten an der Brücke aber zu gross, da das Brückenmaterial nur max. 12 Häuschen verträgt. Deshalb wird das Material an dieser Stelle nachgeben.
Wenn wir eine Brücke bauen, so dass die beiden Kräfte in grösserem Abstand zu einander wirken können, nämlich 3 statt 2 Häuschen, sind die beiden horizontalen Kräfte vom Betrag her kleiner.
Mit einem Abstand von 3 reicht eine horizontale Kraft von 10 Häuschen, um ein Gegendrehmoment von 30 zu erhalten.
\[ M = 3 \cdot 10 = 30 \]
Eine solche Kraft kann das Material aushalten.
Die beiden violetten Kräfte im Material der Brücke sind betragsmässig kleiner (10 statt 15 Häuschen). Das wurde einzig dadurch erreicht, dass die obere horizontale Kraft in einem grösseren Abstand zum Punkt A wirken kann.
Wie im obigen Beispiel gezeigt, muss eine Brücke nicht unbedingt massiv sein. Sie muss aber die Kräfte oben und unten in möglichst grossem Abstand übertragen können.
Dieses Prinzip sehen wir auch an Stahlträgern mit der sog. “I”-Form.
Sie sind keine massive Quader, sondern sind schlank gestaltet:
- Da die Kräfte v.a. oben und unten übertragen werden, ist der Träger dort breit.
- In der Mitte ist er aber sehr schlank. Der mittlere Teil ist nur dazu da, um den wichtigen grossen Abstand \(h\) zu erzeugen.
Oft wird das Material in der Mitte des Trägers sogar ganz weggelassen, denn jedes Material kostet und hat ein Eigengewicht.
Im nächsten Bild ist das ganze Fachwerk der “Träger”: Oben und unten haben wir starke Hauptträger. Dazwischen hat das Fachwerk nur Querträger, die den oberen und unteren Hauptträger in einem wichtigen, grossen Abstand miteinander verbinden.
Aufgabensammlung
Lernziele
- Du kannst mit Hilfe des Kräfte- und Drehmomentgleichgewichts einfache Statikprobleme berechnen und voraussagen, ob ein System stabil bleibt oder nicht.
- Du kannst an kritischen Stellen interne Kräfte bestimmen und zwischen Zug- und Druckbelastungen unterscheiden.
- Du kannst in einfachen Fällen voraussagen, ob ein statisches System die Belastung aushalten wird oder nicht.
- Du verstehst, warum Profile und Fachwerke einen möglichst grossen Abstand zwischen den beiden Belastungskräften anstreben und kannst dieses Prinzip an Alltagsbeispielen erklären.
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