Kreisbewegung

Winkelgeschwindigkeit

Eine Kreisbewegung wird vorzugsweise mit der Winkelgeschwindigkeit \(\omega\) (kleines Omega) beschrieben.

Sie hat den Vorteil, dass sie für den ganzen rotierenden Körper immer gleich gross ist.

Die Winkelgeschwindigkeit beschreibt, wie schnell sich der Winkel bei der Kreisbewegung ändert. Eine ganze Umdrehung entspricht einer Änderung des Winkels um \(2\pi\) (eine ganze Umdrehung im Bogenmass).

Im Unterricht benutze ich gerne einen Tennisball, der an einer Schnur befestig ist.

Beispielsweise braucht ein Sekundenzeiger genau eine Minute, um den Winkel von \(2\pi\) zurückzulegen. Seine Winkelgeschwindigkeit beträgt deshalb:

\[ \omega = \frac{2\pi}{1\,\text{min}} = \frac{2\pi}{60\,\text{s}} = \frac{\pi}{30}\;\text{s}^{-1} \]

Mehr Informationen und Beispiele zur Winkelgeschwindigkeit findest du im Artikel dazu.

Frequenz

In der Umgangssprache verwenden wir eigentlich immer die Frequenz, wenn wir die Drehgeschwindigkeit beschreiben. Wir sagen z.B. “Der Motor hat 3000 Umdrehungen pro Minute”. Wir kümmern uns nicht um Winkel, geschweige um Bogenmass etc. sondern betrachten nur ganze Umdrehungen.

\[ f = \frac{3000}{1\,\text{min}} = \frac{3000}{60\,\text{s}} = 50\,\text{s}^{-1} = 50\,\text{Hz} \]

Für den Sekundenzeiger würden wir eine viel kleinere Frequenz erhalten:

\[ f = \frac{1}{\text{min}} = \frac{1}{60}\;\text{s}^{-1} = \frac{1}{60}\;\text{Hz} \]

Die Umrechnung von Frequenz zu Winkelgeschwindigkeit ist sehr einfach: Die Frequenz \(f\) zählt eine Umdrehung mit 1 und die Winkelgeschwindigkeit \(\omega\) zählt diese Umdrehung mit \(2\pi\), also einfach immer das \(2\pi\)-fache der Frequenz:

\[ \omega = f \cdot 2\pi \]

Für unseren Motor mit \(f=50\,\text{Hz}\) gibt das:

\[ f = 50\;\text{s}^{-1} \quad \rightarrow \quad \omega = (100\pi)\;\text{s}^{-1} \]

Mehr Informationen und Beispiele zur Frequenz findest du im Artikel dazu.

Periode

Die Periode ist die Zeit, die verstreicht, bis sich etwas wiederholt. Für den Sekundenzeiger auf der Uhr ist diese Zeit: 1 Minute. Für den Motor mit 1000 Umdrehungen pro Minute ist die Zeit für 1 Umdrehung natürlich: \(\frac{1}{3000}\)-stel von einer Minute.

Die Periode ist einfach der Kehrwert der Frequenz:

\[ T = \frac{1}{f} \qquad \qquad f = \frac{1}{T} \]

Für den Sekundenzeiger erhalten wir:

\[ T = \frac{1}{f} = \frac{\;\;1\;\;}{\frac{1}{60\,\text{s}}} = 60\;\text{s} \]

Der Sekundenzeiger braucht ja 60 Sekunden, um seine ganze Umdrehung abzuschliessen.

Wenn wir die Winkelgeschwindigkeit zur Verfügung haben, müssen wir zuerst die Frequenz daraus berechnen, bevor wir den Kehrwert bilden, d.h. wir dividieren zuerst \(\omega\) mit \(2\pi\) und bilden dann den Kehrwert:

\[ T = \frac{1}{f} = \frac{\;\;1\;\;}{\frac{\omega}{2\pi}} = \frac{2\pi}{\omega} \]

Mehr Informationen und Beispiele zur Periode findest du im Artikel dazu.

Bahngeschwindigkeit

Bei einer Kreisbewegung wandern Teile eines sich drehenden Körpers auf Kreisbahnen. Wie schnell diese unterwegs sind, wird durch die Bahngeschwindigkeit beschrieben.

Im Gegensatz zu en bisherigen Grössen Winkelgeschwindigkeit, Frequenz und Periode, ist die Bahngeschwindigkeit nicht überall gleich, sondern hängt vom betrachteten Punkt ab. Sie nimmt mit zunehmendem Abstand \(r\) vom Drehzentrum linear zu:

\[ v = r \cdot \omega \]

Dieser Abstand entspricht auch gleich dem Radius des Kreises der Bahn.

Mehr Informationen und Beispiele zur Bahngeschwindigkeit findest du im Artikel dazu.

Zentripetalkraft

Gemäss Newtons Erstem Gesetz bewegt sich ein Körper geradlinig mit konstanter Geschwindigkeit, wenn keine Kraft auf ihn wirkt. Das ist bei der Kreisbewegung offensichtlich anders. Die Bahn ist ein Kreis und die Geschwindigkeit ändert bei der gleichförmigen Kreisbewegung zwar nicht ihren Betrag, jedoch ihre Richtung und zwar andauernd. Diese Geschwindigkeitsänderung ist eine spezielle Beschleunigung, die Zentripetalbeschleunigung \(a_Z\).

\[ a_Z = \frac{v^2}{r} \]

Wenn wir also eine Beschleunigung haben, die die Geschwindigkeit der Masse ändert, dann müssen wir gemäss Newtons Zweitem Gesetz auch eine Kraft haben, die auf die Masse wirkt.

Diese Kraft heisst Zentripetalkraft \(F_Z\). Sie zeigt, gleich wie die Zentripetalbeschleunigung, zum Zentrum des Kreises hin.

\[ F = m \cdot a \quad \rightarrow \quad F_Z = m \cdot a_Z \]

Wir setzen den Ausdruck für die Zentripetalbeschleunigung von oben ein

\[ F_Z = m \cdot \Big(\frac{v^2}{r}\Big) = \frac{m \cdot v^2}{r} \]

und ersetzen die Bahngeschwindigkeit mit dem Produkt von Kreisradius und Winkelgeschwindigkeit: \(v=r \cdot \omega\):

\[ \require{cancel} F_Z = \frac{m \cdot (r \cdot \omega)^2}{r} = \frac{m \cdot r^{\cancel{2}} \cdot \omega^2}{\cancel{r}} \]

\[ F_Z = m \cdot r \cdot \omega^2 \]

So lässt sich der Betrag der Zentripetalkraft berechnen, die den Körper so beschleunigt, dass er sich auf einer Kreisbahn bewegt. Sie drückt ihn quasi auf die Kreisbahn. Sich selbst überlassen, würde der Körper auf einer geraden Linie weiterfliegen. Es kommt aber immer wieder die Zentripetalkraft \(F_Z\), die diese Linie zu einer Kreisbahn “biegt”.

Jetzt ist die Zentripetalkraft keine eigenständige Kraft, sondern sie ist vielmehr eine “Rolle” oder ein “Job”. Was ich damit meine: Es gibt z.B. die Gravitationskraft und sie übernimmt bei unserem Mond die Rolle der Zentripetalkraft, wenn es darum geht, den Mond um die Erde kreisen zu lassen.

Der Mond wird ja von der Erde durch die Gravitationskraft angezogen. Diese Gravitationskraft ist die Zentripetalkraft in der Kreisbewegung des Mondes.

Fährt ein Auto in einem Kreisel, so macht es kurzzeitig eine Kreisbewegung. Auch hier muss eine Zentripetalkraft wirken, sonst würde das Auto geradeaus fahren. Die Kraft, die das Auto richtung Kreiselzentrum drückt, ist die Haftreibung zwischen den Reifen und der Strasse. Haben wir keinen Grip mehr, fährt das Auto aus dem Kreisel gerade aus weiter.

Weitere Beispiele:

Kreisbewegung	Kraft, die als Zentripetalkraft wirkt
Mond um die Erde, Erde um die Sonne etc.	Gravitationskraft zwischen Erde und Sonne
Auto in einem Kreisel	Haftreibung zwischen Rad und Strasse
Tennisball an Schnur angemacht	Seilkraft über die Schnur
Propeller eines Flugzeugs	Kraft im Propellermaterial, das den Propeller zusammenhält (sonst würde der auseinandergerissen werden)
Salatschleuder	Normalkraft des Korb-Seitenwände, die auf die Salatblätter wirkt
Sportwagen in einer Kurve	Normalkraft des Sitzes, die den Fahrer vom seitlichen Herausfallen abhält
Proton im Large-Hadron-Collider (CERN)	Lorentzkraft, die durch starke Magnete entlang der Bahn verursacht wird

Zentrifugalkraft

Möchte man ein rotierendes System mit der Technik des Kräftegleichgewichts und der Newtonschen Gesetze der Mechanik berechnen, so müssen wir eine Scheinkraft einführen: Die Zentrifugalkraft \(F_Z\).

Sie ist gleich stark, wie die Zentripetalkraft, hat aber die umgekehrte Richtung, vom Drehzentrum wegzeigend:

\[ F_Z = m \cdot r \cdot \omega^2 \]

Warum braucht es diese “Fake”-Kraft?

Die Kreisbahn ist keine gerade Linie und wir können auch nicht behaupten, dass Kräftegleichgewicht herrscht, da wir auf diese Weise keine Kreisbahn erhalten würden.

Beim Arbeiten mit der Zentripetalkraft macht man deshalb zwei bewusste Fehler , die sich aber wieder aufheben:

• Wir führen eine Kraft ein (Zentripetalkraft), die es nicht gibt
• Wir nehmen an, dass die Masse bei Kräftegleichgewicht eine konstante Bahngeschwindigkeit einnimmt auf einem Kreis (statt einer geraden Linie).

Im nachfolgenden Bild ist das Kreisen eines Satelliten um die Erde herum eingezeichnet. Die Erde zieht am Satelliten (Gravitationskraft).

Soweit hätten wir kein Kräftegleichgewicht. Wir führen jetzt aber eine Zentrifugalkraft \(F_Z\) ein und behaupten jetzt, dass diese Kraft so gross ist, dass wir gerade das Kräftegleichgewicht erreichen (\(F_{res} = 0\)) und somit eine Kreisbewegung mit konstanter Bahngeschwindigkeit erhalten.

Die Bedingung für die Kreisbewegung ist also \(F_{res}=0\) und somit:

\[ F_Z = F_G \]

Jetzt haben wir genau das gleiche Ergebnis, wie jemand, der mit der Zentripetalkraft argumentiert. Er würde auch behaupten, dass die Gravitationskraft \(F_G\) die Zentripetalkraft \(F_Z\) ausmacht.

Die Physiker mögen die Zentrifugalkraft gar nicht, weil sie nicht existiert und das Ganze wie ein “Gebastel” erscheint. Allerdings wird es schwierig ein Problem zu verstehen, wenn verschiedene Kräfte nur teilweise die Rolle der Zentripetalkraft übernehmen. In solchen Fällen ist die Arbeit mit der Zentrifugalkraft viel eleganter.