Leistung
Leistung
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Das Wichtigste in Kürze

Die Leistung $P$ ist eine Menge an Energie $\Delta E$, die in einer bestimmten Zeitspanne $\Delta t$ umgesetzt worden ist. Beispielsweise ist die Leistungsaufnahme eines Geräts die Energie pro Zeit, die das Gerät “verbraucht”. Oft wird die Leistung auch als die Arbeit $W$ berechnet, die innerhalb der Zeitspanne $\Delta t$ verrichtet worden ist:

\[ P = \frac{\Delta E}{\Delta t} = \frac{W}{\Delta t} \]

Video

In diesem Video wird die Theorie erklärt und mit Beispielen illustriert.

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Häufigste Fragen

Leistung ist die Verrichtung von Arbeit pro Zeit bzw. das Umsetzen von Energie pro Zeit.

Machen wir eine Analogie: Wenn wir unterwegs sind, dann sind wir am Ende der Reise eine bestimmte Strecke weitergekommen. Wir können die Strecke langsam (mit geringer Geschwindigkeit) oder in kurzer Zeit, d.h. mit grosser Geschwindigkeit zurücklegen.

Analog können wir eine bestimmte Menge an Arbeit oder Energie langsam (kleine Leistung) oder in kurzer Zeit (grosse Leistung) umwandeln.

Die Arbeit ist die Menge an Energie, die umgewandelt oder von einem System auf das Andere übertragen wird.

Die Leistung ist dagegen, wie schnell diese Menge umgewandelt oder übertragen worden ist. Sie ist die Menge Energie pro Zeit.

Das Anheben einer Masse auf eine bestimmte Höhe erfordert eine ganz bestimmte Menge an Hubarbeit.

Mit einer grossen Leistung wird diese Arbeit in kurzer Zeit verrichtet. Mit einer kleinen Leistung, wird gleich viel Arbeit verrichtet, aber in einem längeren Zeitabstand.

Die Leistung hat die Einheit Watt (W). Ein Watt entspricht einem Joule pro Sekunde:

\[ 1\,\text{W} = 1 \frac{\text{J}}{\text{s}} \]

Beachte: Das grosse “W” für die Einheit Watt darf auf keinen Fall mit dem Symbol $W$ für die physikalische Arbeit verwechselt werden!

Eigentlich nicht, da die Leistung immer aus dem Bruch eines positiven Betrags an Energie $\Delta E$ durch eine (stets positive) Zeitperiode $\Delta t$ errechnet wird. Der Bruch ist dann auch positiv.

\[ P = \frac{\Delta E}{\Delta t} \]

Mit einer negativen Leistung wird aber gerne auf den Umstand hingewiesen, dass Energie das betrachtete System verlässt, weil dieses physikalische Arbeit verrichtet. Die verrichtete Arbeit $W$ wird dann negativ eingesetzt (das System gibt Energie ab), so dass damit die Leistung negativ wird:

\[ P = \frac{W}{\Delta t} \]

Nein, nur Energie kann gespeichert werden.

Definitionen

Abkürzung: $P$ (engl. “power”, franz. “puissance”)

Einheit: $[P] = \mathrm{\frac{J}{s}} = \mathrm{W}$ (Watt)

Die Einheit Pferdestärken ($\mathrm{PS}$) ist noch sehr gebräuchlich, v.a. für die Leistung von Motoren. Sie wird in der Physik aber nicht mehr verwendet.

Hohe Leistung: gleich viel Arbeit in kürzerer Zeit

Eine Masse wird angehoben. Dazu muss Hubarbeit geleistet werden. Wir nehmen an, dass es 60 J Arbeit sind.

Wenn wir für das Verrichten dieser Hubarbeit 20 Sekunden benötigen, dann errechnet sich die Leistung $P$:

\[ P = \frac{W}{\Delta t} = \frac{60\,\mathrm{J}}{20\,\mathrm{s}} = 3\,\mathrm{W} \]

Leistung
Wird eine Masse langsam hochgezogen, so wird die gleiche Hubarbeit $W=60\;\text{J}$ in einer langen Zeitperiode $\delta t=20\;\text{s}$ verrichtet. Entsprechend ist die Leistung klein.

Für eine Leistung von 3 W reicht ein kleiner Motor.

Wenn wir aber die gleiche Arbeit in kürzerer Zeit verrichten möchten, dann ändert sich auf der Energie-/Arbeitsseite nichts. Die Masse ist immer noch gleich schwer, die Höhe ist immer noch gleich.

Was sich ändert ist die Zeit $\Delta t$.

Wenn wir die gleiche Arbeit in nur 2 Sekunden erledigt haben möchten, erhalten wir:

\[ P = \frac{W}{\Delta t} = \frac{60\,\mathrm{J}}{2\,\mathrm{s}} = 30\,\mathrm{W} \]

Leistung
Wird eine Masse schnell hochgezogen, so wird die gleiche Hubarbeit $W=60\;\text{J}$ in einer kurzen Zeitperiode $\delta t=2\;\text{s}$ verrichtet. Entsprechend ist die Leistung gross.

Es braucht einen grösseren Motor mit 10-facher Leistung! Dieser grössere Kranmotor kann die gleiche Last $F$ über die gleiche Wegstrecke $\Delta s$ anheben. Er macht es aber 10 mal schneller.

Schauen wir uns ein Beispiel an mit der Beschleunigungsarbeit:

Ein günstiger Kleinwagen kann, gleich wie ein Sportwagen, auf die erlaubte Höchstgeschwindigkeit beschleunigen. Der Sportwagen hat einen grösseren Motor, der viel mehr Leistung abgeben kann und deshalb bringt er die gleiche Beschleunigungsarbeit in viel kürzerer Zeit.

Hohe Leistung: mehr Arbeit in gleiche Zeit

Aus der Definition der Leistung als Bruch von “Arbeit über Zeit”, erkennen wir, dass wir ein grosses $P$ haben können, wenn nicht der Nenner $\Delta t$ klein ist, sondern einfach der Zähler $W$ (Arbeit) gross ist:

\[ P = \frac{W}{\Delta t} \]

In unserem vorigen Beispiel kann der grosse Kranmotor in der gleichen Zeit von 20 Sekunden die Masse 10-mal höher anheben oder er kann vielleicht sogar die 10-fache Masse anheben.

“Energie bzw. Arbeit ist Leistung mal Zeit.”

Umrechnung zwischen Leistung und Arbeit/Energie

Wir nehmen die Definition der Leistung und multiplizieren die Gleichung mit der Zeitperiode $\Delta t$:

\[ \frac{W}{\Delta t} = P \]

\[ W = P \cdot \Delta t \]

Wir erhalten einen Ausdruck für die Berechnung der Arbeit. Auf die Frage hin “Wie viel Arbeit hat der kleine Motor in 10 s geleistet?”, berechnen wir:

\[ W = 3\,\mathrm{W} \cdot 10\,\mathrm{s} = 30\,\mathrm{\frac{J}{s} \cdot s} = 30\,\mathrm{J} \]

Das ist natürlich die halbe Arbeit von vorhin, weil der Motor nur halb so lange gearbeitet hat.

Achtung Verwechslungsgefahr! Die Arbeit $W$ hat die Einheit $\mathrm{J}$ (Joule). Die Leistung $P$ hat die Einheit $\mathrm{W}$ (Watt). In der obigen Rechnung siehst du das erste $W$ für die Arbeit und dann das zweite Mal als Einheit der Leistung in $3\,\mathrm{W}$.

Beachte auch, dass die Einheit Kilowattstunde eine Einheit für die Energie ist. Sie entspricht analog zu $E = P \cdot \Delta$ der Multiplikation einer Leistung mit einer Zeit:

\[ 1 \, \mathrm{kWh} = 1 \, \mathrm{kW} \cdot 1 \, \mathrm{h} \]

Eine Kilowattstunde ist die Energie, die bei einer Leistung von 1 kW über eine Stunde lang verbraucht bzw. umgesetzt worden ist.

Beispiel: Leistung eines Kühlschranks

Ein Kühlschrank im Schnitt 188 J in 10 Sekunden. Berechne seine Leistung in Watt, sowie die elektrische Arbeit, die der Kühlschrank in einem Jahr verbraucht, in Megajoule und in Kilowattstunden.

Leistung (Kühlschrank)
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Wenn der Kühlschrank 188 J pro 10 Sekunden braucht, dann sind es pro Sekunde 18.8 J an elektrischer Arbeit. Die Leistung beträgt demnach:

\[ P = \frac{W}{\Delta t} = \frac{18.8\,\mathrm{J}}{1\,\mathrm{s}} = 18.8 \mathrm{\frac{J}{s}} = \underline{18.8\,\mathrm{W}} \]

Anhand dieser Leistung können wir den Energiebedarf des Kühlschranks in einem ganzen Jahr berechnen:

\[ \Delta E = P \cdot \Delta t = 18.8\,\mathrm{W} \cdot (365.25 \cdot 24 \cdot 3600)\,\mathrm{s} \approx 6 \cdot 10^8\,\mathrm{J} = \underline{600\,\mathrm{MJ}} \]

Dabei haben wir benutzt, dass $1\,\mathrm{MJ} = 10^6\,\mathrm{J}$.

Üblicherweise werden solche Energieangaben in der Einheit Kilowattstunde angegeben:

\[ W = \frac{600}{3.6} \, \mathrm{kWh} \approx \underline{167 \, \mathrm{kWh}} \]

Aufgabensammlung

Achterbahn (0014)

3 Teilaufgaben mit Lösungen (pdf/Video):

  • Berechnung der Leistung
  • Verknüpfungen mit potenzieller Energie, kinetischer Energie und Reibungsarbeit

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Tram (0015)

2 Teilaufgaben mit Lösungen (pdf/Video):

  • Berechnung der Leistung
  • Berechnung aufgrund einer prozentuellen Steigung
  • Verknüpfungen mit potenzieller Energie und Reibungsarbeit

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Diverse Kleinaufgaben (0016)

3 Aufgaben mit Lösungen (pdf/Video):

  • Berechnung der Leistung
  • Umrechnung der Einheit Kilowattstunde (kWh)
  • Verknüpfungen mit potenzieller Energie, kinetischer Energie und Reibungsarbeit

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Aquarium (0017)

3 Teilaufgaben mit Lösungen (pdf/Video):

  • Berechnung der Leistung
  • Umrechnung der Einheit Kilowattstunde (kWh)
  • Prozentrechnung

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Lernziele

  • Du kennst den Begriff der Leistung und kannst in eigenen Worten erklären, wie die Leistung mit den Grössen Arbeit bzw. Energie und Zeit zusammenhängen.
  • Du kannst aufgrund einer gegebenen Energie bzw. Arbeit und unter Angabe der Zeit, die Leistung berechnen bzw. umgekehrt.
  • Du kennst die Einheit Kilowattstunde (kWh) und kannst sie in MJ umrechnen bzw. umgekehrt.

Mini-Test

Prüfe dein Wissen mit Hilfe eines kleinen Tests mit Verständnisfragen und Rechenaufgaben.

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Weitere Links

Aufgabensammlung

  • Achterbahn (0014)

  • Aquarium (0017)

  • Diverse Kleinaufgaben (0016)

  • Kochplatte (0091)

  • Tram (0015)