Hall-Effekt

Wenn wir einen elektrischen Strom durch ein Magnetfeld schicken, erfahren die Ladungsträger im Magnetfeld eine Lorentzkraft. Schauen wir uns dazu das folgende Bild an: Positive Löcher fliessen in Stromrichtung, d.h. von links nach rechts. Für die negativen Elektronen wäre es gerade umgekehrt. Das Magnetfeld ist hier von vorne nach hinten gerichtet, d.h. aus Sicht der positiven Ladungen ist das Magnetfeld nach links gerichtet.

Die Lorenztkraft aufgrund des magnetischen Felds steht senkrecht auf der Flussrichtung der positiven Ladungen \(\vec\) \underline{und} auf der Richtung des Magnetfelds \(\vec{B}\):

\[ \vec{F}_L = \vec{v} \times \vec{B} \]

Mit der Rechte-Hand-Regel (Daumen in Richtung von \(I\), Zeigefinger in Richtung von \(\vec{B}\)) erhalten wir eine Richtung der Lorentzkraft \(\vec{F}_L\) nach oben.

Die positiven Ladungen werden demnach eine Lorentzkraft nach oben verspüren, die negativen Ladungen eine Lorenztkraft nach unten. Die Ladungen fliessen weiterhin in der gewohnten Richtung (von links nach rechts, für die positiven Ladungen). Was den Hall-Effekt aber ausmacht, ist die Akkumulation der positiven Ladungen am oberen Ende des Leiters und die Akkumulation der negativen Ladungen am unteren Ende. Wir haben eine gewisse Ladungstrennung und diese ist als elektrische Spannung, als sog. Hall-Spannung \(U_H\) messbar.

Diese Spannung beträgt (hier ohne Herleitung):

\[ U_H = \frac{IB}{nte} \]

Dabei ist \(I\) der elektrische Strom, der durch das Magnetfeld \(B\) fliesst. \(n\) ist die Ladungsträgerdichte, d.h. die Anzahl Ladungen pro Volumen, \(e\) die Ladung der Ladungsträger und \(t\) die Breite der Zone, durch welche der Strom fliesst. Wir können diesen Ausdruck auch nach \(B\) auflösen, so dass wir anhand der gemessenen Spannung \(U_H\) wir die Stärke des Magnetfelds bestimmen können:

\[ B = \frac{nte U_H}{I} \]

Je stärker das Magnetfeld ist, desto stärker wird auch die Lorenztkraft sein und die Akkumulation wird ebenfalls stärker sein. Vergessen wir an dieser Stelle nicht, dass die Akkumulation einen starken Widerstand erfährt, der von der gegenseitigen Abstossung der Ladungen herrührt. Am liebsten wären die Ladungen alle gleichmässig verteilt und somit im Schnitt am weitesten von den anderen gleichen Ladungen entfernt. Die Lorentzkraft wirkt hier hinein und erschafft ein gewisses Ungleichgewicht, aber nur entsprechend ihrer Stärke.

Wir können uns das mit Federn vorstellen. Wenn wir ein Kügelchen zwischen zwei vertikalen Federn in einer Box platzieren, dann wird das Kügelchen durch die Federn in der Mitte gehalten. Wenn wir jetzt das Kügelchen nach oben drücken, dann wird die obere Feder dagegen stossen (Abstossungskraft) und die untere Feder wird versuchen das Kügelchen wieder nach unten zu ziehen (Anziehungskraft). Solange wir mit der Kraft nach oben wirken, ist das Kügelchen oberhalb ihrer mittleren Gleichgewichtslage. Je stärker wir as Kügelchen nach oben drücken, desto weiter oben wird es sein.