Induktion

Induktion im bewegten Leiter

Im weiteren werden wir die Lorenztkraft auf die Ladungsträger anschauen, wenn wir den Leiter bewegen und zwar in einem Magnetfeld. Wir nehmen die Definition der Lorentzkraft:

\[ \vec{F}_L = q\vec{E} + q \cdot \big( \vec{v} \times \vec{B} \big) \]

Da wir hier kein elektrisches Feld haben, fällt der erste Teil in der Formel der Lorentzkraft weg. Der zweite Summand steht für den Einfluss des magnetischen Felds. Dieser kann noch zu einer Lorentzkraft führen. Im ersten Fall, wenn die Bewegungsrichtung des Leiters der Richtung des Magnetfelds entspricht verschwindet das Vektorprodukt von \(\vec{v}\) und \(\vec{B}\). Wir haben deshalb auch keine Lorentzkraft aufgrund des Magnetfelds.

Was passiert, wenn der Leiter in der Richtung des Magnetfelds liegt, aber quer zu ihm bewegt wird? Wir nehmen die Rechte-Hand-Regel mit dem Daumen nach rechts und dem Zeigefinger nach oben. Die Lorentzkraft auf die positiven Ladungen zeigt aus der Zeichenebene heraus. Die Lorentzkraft auf die negativen Ladungen zeigt hingegen in die Zeichenebene hinein. Es folgt eine kleine Ladungstrennung über die Breite des Leiters, ähnlich zum Hall-Effekt. Der Leiter ist aber sehr dünn, so dass wir diese Ladungstrennung kaum wahrnehmen können.

Wir legen jetzt das Magnetfeld in eine andere Richtung. Es zeigt jetzt in die Zeichenebene hinein. Mit der Rechte-Hand-Regel erhalten wir jetzt auf die positiven Ladungen eine Lorentzkraft nach oben. Die positiven Ladungen können jetzt nach oben, entlang des Leiters wandern. Die negativen Ladungen verspüren eine Lorentzkraft nach unten. Über die Länge des Leiters haben wir jetzt eine deutliche elektrische Spannung. Es ist die Induktionsspannung \(U_{ind}\).

Wenn ein Leiter quer zu einem Magnetfeld bewegt wird, kann es aufgrund der Lorentzkraft zu einer Ladungstrennung kommen, die zu einer induzierten Spannung \(U_{ind}\) führt. Wir werden im weiteren die Methode des sich ändernden magnetischen Flusses anschauen, die uns die gleiche induzierte Spannung erklärt.

Magnetischer Fluss

Das Magnetfeld \(B\) wird oft auch Magnetflussdichte genannt. Gemeint ist der Magnetfluss pro Fläche. Multiplizieren wir \(B\) mit der Fläche, durch welche das Magnetfeld ”fliesst”, erhalten wir den sog. Magnetfluss \(\phi_B\):

\[ \phi_B = B \cdot A \]

Etwas allgemeiner wäre die Summe aller Magnetflüsse an einer bestimmten Stelle, durch eine infinitesimale Fläche \(dA\) und dann integriert:

\[ \phi_B = \int B \cdot dA \]

Mit der Fläche meinen wir eine Leiterschlaufe. Was hier aber fehlt ist die Frage der Richtung. Das Magnetfeld ist vielleicht nicht senkrecht zur Fläche gerichtet. Was dann? Nun wir schauen uns diesen allgemeinen Fall an, nehmen der Einfachheit halber aber an, dass das Magnetfeld \(B\) konstant ist und in einem Winkel \(\theta\) zur Fläche \(A\) steht.

Da das Magnetfeld \(\vec{B}\) eine Vektorgrösse ist, können wir den Vektor \(\vec{B}\) auch in zwei Vektoren aufteilen, deren Summe dann wieder \(\vec{B}\) ergibt. Wir können den einen Vektor parallel zur Fläche \(A\) wählen (\(\vec{B}_{\parallel}\)) und den anderen Vektor senkrecht zur Fläche \(A\) (\(\vec{B}_{\perp}\)).

\[ \vec{B} = \vec{B}_{\parallel} + \vec{B}_{\perp} \]

In der Detailansicht, oben rechts, sehen wir, dass der Anteil \(\vec{B}_{\parallel}\) keinen Beitrag zum magnetischen Fluss liefert, weil er nicht durch die Fläche ”fliesst”, sondern parallel zu ihr. Einzig der Anteil \(\vec{B}_{\perp}\) ist entscheidend.

Mathematisch können wir diesen Anteil mit dem Skalarprodukt ausdrücken:

\[ B_{\parallel} = \vec{B} \cdot \frac{\vec{n}}{|\vec{n}|} \]

Wenn der Normalvektor \(\vec{n}\) zur Fläche schon normiert ist, d.h. die Länge 1 hat, dann brauchen wir nicht durch die Länge \(|\vec{n}|\) zu dividieren. Für den magnetischen Fluss erhalten wir dann:

\[ \Phi_B = A \cdot B_{\parallel} = A \cdot \vec{n} \cdot \vec{B} \]

Wir können auch die Definition des Skalarprodukts \(\vec{n} \cdot \vec{B} = |\vec{n}| \cdot |\vec{B}| \cdot \cos(\theta)\) nehmen:

\[ \Phi_B = A \cdot B \cdot \cos(\theta) \]

Dabei ist \(\theta\) der Zwischenwinkel, zwischen der Richtung des Magnetfelds \(\vec{B}\) und der Fläche \(\vec{n}\).

Wenn der Zwischenwinkel \(\theta = 0^\circ\), haben wir \(\cos(0^\circ)=1\), d.h. wir haben den einfachen Fall, denn wir ganz am Anfang betrachtet haben:

\[ \Phi_B = A \cdot B \]

Wenn der Zwischenwinkel aber \(\theta=90^\circ\) ist, gilt \(\cos(90^\circ)=0\) und der magnetische Fluss verschwindet.

Im Fall von \(\theta=60^\circ\) gilt \(\cos(60^\circ)=\frac{1}{2}\). Die Hälfte des Flusses geht durch die Fläche durch.

Änderungen des magnetischen Flusses

Für die induzierte Spannung \(U_{ind}\) ist nicht der magnetische Fluss entscheidend, sondern die zeitliche Änderung des magnetischen Flusses.

\[ \frac{d}{dt}\phi_B \quad \rightarrow \quad U_{ind} \]

Wir schauen uns an, wie der magnetische Fluss \(\phi_B\) sich zeitlich ändert, wenn wir einen Permanentmagneten einer Fläche nähern. Da das Magnetfeld auseinander geht, haben wir mehr Feldlinien nahe am Pol, als weiter weg von ihm. Wenn wir den Permanentmagneten der Fläche annähern, wächst der magnetische Fluss \(\phi_B\).

Die zeitliche Änderung des magnetischen Flusses ist jetzt aber auch abhängig von der Zeitspanne, die wir für die Annäherung brauchen. Nähern wir uns sehr schnell an, ist die zeitliche Änderung gross. Nähern wir uns nur sehr langsam an, ist die zeitliche Änderung klein.

Den magnetischen Fluss \(\Phi_B\) können wir auch ändern, wenn wir die Fläche ändern. Im folgenden Beispiel wir die Fläche in einem konstanten Magnetfeld verändert. Im ersten Bild ist die Fläche sehr klein und damit ist der magnetische Fluss \(\Phi_B\) sehr klein. Durch Vergrösserung der Fläche, nimmt der magnetische Fluss zu.

Auch hier gilt wieder, dass die zeitliche Änderung des magnetischen Flusses umso grösser ist, je kürzer die Zeitspanne ist, in welcher die Änderung stattfindet.

Schliesslich gibt es eine weitere Möglichkeit, den magnetischen Fluss zu ändern. Das Magnetfeld mag konstant sein, die Fläche auch. Was sich aber noch ändern kann ist deren Ausrichtung. Der magnetische Fluss ist umso grösser, je senkrechter die Fläche zum Magnetfeld ist.

Diese letzte Variante ist die meist genutzte Variante der Induktion. In Generatoren von Kraftwerken werden nämlich Leiterschlaufen in einem Magnetfeld gedreht, wodurch eine sinusförmige Wechselspannung induziert wird.

Induktionsgesetz

Die induzierte Spannung \(U_{ind}\) kann durch die Lorentzkraft erklärt werden oder durch die zeitliche Änderung des magnetischen Flusses. Um den magnetischen Fluss zu vergrössern, können wir die Fläche vergrössern, indem wir sie mehrfach hintereinander legen. Zudem entsteht eine grosse zeitliche Änderung mit einer schnellen Änderung der magnetischen Flusses, hier mit einer dreifachen Geschwindigkeit \(3v\).

Die doppelte Fläche entsteht durch zwei Schlaufen des gleichen Leiters. Wir nennen sie Anzahl Windungen \(N\) der Spule.

Können wir den Magneten nicht so schnell bewegen, dann können wir die gleiche Spannung \(U_{ind}\) induzieren, indem wir die Fläche um den entsprechenden Faktor vergrössern. Mit einer Spule mit 6 Windungen (\(N=6\)) erhalten wir die 3-fache induzierte Spannung. Allerdings ist unsere Geschwindigkeit ebenfalls 3-fach kleiner, so dass die gleich starke Spannung induziert wird.