Arithmetische Reihen (AR)

Für das Reihenglied \(s_n\) bilden wir die folgende Summe:

\[ s_n \;=\; a_1 + a_2 + … + a_{n-1} + a_n \]

Jetzt benutzen wir den Trick von Gauss und bilden Pärchen, zuerst das erste und das letzte Glied, dann das zweite und das zweitletzte Glied etc.

\[ s_n \;=\; (a_1 + a_n) + (a_2 + a_{n-1}) + … \]

Das zweite Pärchen schauen wir uns genauer an. Das zweite Glied ist ja \(a_2=a_1 + d\). Das zweitletzte Glied ist \(a_{n-1} = a_n – d\):

\[ (a_2 + a_{n-1}) = \Big( \big( a_1 + d \big) + \big( a_n – d \big) \Big) \]

\[ \require{cancel} (a_2 + a_{n-1}) = \big(a_1 + \cancel{d} + a_n – \cancel{d}\big) = a_1 + a_n \]

Auch hier ist das zweite Pärchen genau gleich gross, wie das erste Pärchen, nämlich einfach die Summe von \(a_1\) und von \(a_n\).

Da wir \(n\) Folgeglieder haben und sie in Pärchen organisieren, hat es genau \(\frac{n}{2}\) Pärchen. Für die Summe \(s_n\) multiplizieren wir somit die Anzahl Pärchen \(\frac{n}{2}\) mit ihrem Wert \((a_1 + a_n)\):

\[ \underline{s_n = \frac{n}{2} \cdot \big( a_1 + a_n \big)} \]

Damit hätten wir die Formel für \(s_n\) hergeleitet.