Potenzgleichungen

Unter Potenzgleichungen verstehen wir Gleichungen (oder Ungleichungen) mit einer Potenz auf der einen Seite.

Beispiel

Löse die folgende Potenzgleichung nach \(x\) auf:

\[ (x-1)^3 + 8 = 0 \]

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Wir bringen die 8 auf die andere Seite, indem wir beide Seiten mit 8 addieren. Damit steht die Potenz auf der linken Seite alleine da.

\[ (x-1)^3 \; = \; -8 \]

Jetzt können wir beidseitig die dritte Wurzel ziehen.

\[ (x-1) \; = \; \sqrt[3]{-8} \]

\[ x – 1 \; = \; -2 \]

\[ \underline{x = -1} \]

Beispiel

Bestimme für die folgende Potenzgleichung die Lösungsmenge:

\[ \Big( \frac{2}{x+2} \Big)^2 \; = \; 1 \]

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Wenn wir eine Wurzel ziehen mit einem geraden Exponenten, müssen wir immer daran denken, dass es auch eine zweite Lösung gibt, mit negativem Vorzeichen. Die Gleichung von oben ist bereits soweit, dass wir die Wurzel ziehen können:

\[ \sqrt{\Big( \frac{2}{x+2} \Big)^2} \; = \; \sqrt{1} \]

\[ \pm \Big( \frac{2}{x+2} \Big) \; = \; 1 \]

\[ \frac{\pm 2}{x+2} \; = \; 1 \]

Jetzt dürfen wir mit \((x+2)\) multiplizieren:

\[ \pm 2 \; = x + 2 \]

Fall 1: Positives Vorzeichen

\[ 2 \; = \; x+2 \quad \rightarrow \quad x=0 \]

Fall 2: Negatives Vorzeichen

\[ -2 \; = \; x+2 \quad \rightarrow \quad x=(-4) \]

Wir haben damit zwei Lösungen:

\[ \underline{\boldsymbol{L} = \big\{ -4, 0 \big\}} \]

Beispiel

Bestimme die Lösungsmenge für die folgende Potenz(un)gleichung:

\[ (x+2)^5 \; < \; x+2 \]

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Wir sehen gleich, dass wir mit \((x+2)\) dividieren können, so dass wir dann nur links eine Potenz haben. Allerdings müssen wir aufpassen, denn wir wissen ja nicht, ob \((x+2)\) positiv oder negativ ist. Falls es negativ ist, müssten wir die Richtung des Ungleichheitszeichens ändern.

Wir wissen nicht, wie gross \(x\) bzw. \((x+2)\) ist. Wir können aber eine Annahme machen, dann aufgrund dieser Annahme die Rechnung vollziehen und dann die andere Annahme separat diskutieren.

Fall 1: \((x+2)>0\) bzw. \(x>(-2)\)

Wir dividieren ohne die Richtung des Ungleichheitszeichens zu ändern und erhalten dabei:

\[ (x+2)^5 \; < \; (x+2) \]

\[ (x+2)^4 \; < \; 1 \]

Jetzt können wir beidseitig die vierte Wurzel ziehen, müssen aber wieder daran denken, dass beide Vorzeichen vorkommen:

\[ \pm(x+2) \; < \; 1 \]

Wir schauen uns zuerst das positive Vorzeichen, dann das negative Vorzeichen an:

\[ x+2 \; < \; 1 \quad \rightarrow \quad \underline{x < -1} \]

\[ -x-2 \; < \; 1 \]

\[ -x \; < \; 3 \]

Beim Multiplizieren mit \((-1)\) ändern wir das Ungleichheitszeichen:

\[ \underline{x \; > \; -3} \]

Wir haben jetzt zwei Aussagen erhalten: \(x<-1\) und \(x > -3\). Die zweite Aussage bringt uns nicht weiter, denn wir wissen ja schon, dass \(x>-2\). Es war ja unsere Grundannahme, die wir getroffen haben. Hingegen ist \(x<-1\) eine neue Information. Wir erhalten damit ein Lösungsintervall:

\[ \boldsymbol{L_1} = ]-2,-1[ \]

Fall 2: \((x+2)<0\) bzw. \(x<(-2)\)

Jetzt schauen wir uns die andere Hälfte aller Möglichkeiten an. \((x+2)\) ist jetzt negativ und somit muss einer Division mit dieser Zahl eine Änderung des Ungleichheitszeichens folgen:

\[ (x+2)^5 \; < \; (x+2) \]

\[ (x+2)^4 \; > \; 1 \]

\[ \pm(x+2) \; > \; 1 \]

Für die beiden Vorzeichen (zuerst positiv, dann negativ) erhalten wir:

\[ x+2 \; > \; 1 \quad \rightarrow \quad x \; > \; -1 \]

Das steht im Widerspruch zu unserer Grundannahme, dass \(x<-2\) ist. Wir ignorieren deshalb dieses Resultat. Für das negative Vorzeichen erhalten wir:

\[ -x-2 \; > \; 1 \]

\[ -x \; > \; 3 \]

\[ \underline{x \; < \; -3} \]

Diese letzte Aussage verschärft unsere Grundannahme. Wir haben damit:

\[ \boldsymbol{L_2} \;\;=\;\; ]-\infty,-3 [ \]

Damit können wir jetzt die ganze Lösungsmenge notieren:

\[ \underline{\boldsymbol{L} \;\;=\;\; ]-\infty,-3[ \; \;\; \cup \;\;\; ]-2,-1[ } \]

In der obigen Grafik sehen wir die grafische Methode für die Ungleichung aus dem vorigen Beispiel

\[ (x+2)^5 \; < \; x+2 \]

Die linke Seite der Ungleichung \(y_1 = (x+2)^5\) ist in blau dargestellt. Die rechte Seite ist die lineare Funktion \(y_2 = x+2\).

Die Ungleichung verlangt: ”blau \(<\) grün”. Das ist für sehr kleine \(x\)-Werte \(x<(-3)\) erfüllt, wie auch für das Intervall \(]-2,-1[\). Damit können wir die gefundene Lösungsmenge bestätigen:

\[ \boldsymbol{L} \quad = \quad ]-\infty,-3[ \;\;\; \cup \;\;\; ]-2,-1[ \]