Lösen durch Einsetzen

Der Unterschied zwischen den beiden Methoden ist nicht sehr gross. Die Methode des Einsetzens ist ein bisschen eleganter und praktischer als die des Gleichsetzens. Wir schauen uns wieder dasselbe lineare Gleichungssystem an, lösen es dieses Mal mit Einsetzen. 

\[ \begin{cases} \begin{array}{cc} 3x  –  5y  =  9  \quad  (1) \\ \;\;x  +  4y  =  8  \quad  (2) \\ \end{array} \end{cases} \]

Mit der Gleichung (2) können wir einen Ausdruck für \(x\) gewinnen:

\[ x = -4y + 8 \]

Von jetzt an können wir für \(x\) auch einfach den Ausdruck \((-4y + 8)\) verwenden, denn sie sind ja gleich. Wir ersetzen deshalb das \(x\) in der Gleichung (1) mit dem neuen Ausdruck:

\[ 3x – 5y = 9 \quad \rightarrow \quad 3 \cdot (-4y + 8) – 5y = 9 \]

Wir haben jetzt wieder eine Gleichung mit einer Unbekannten:

\[ -12y + 24 -5y  \;\; = \;\; 9 \]

\[ -17y + 24  \;\; = \;\; 9 \]

\[ -17y  \;\; = \;\; 9 – 24 \;\; = \;\; -15 \]

\[ y  \;\; = \;\; \frac{15}{17} \]

Die andere Unbekannte \(x\) erhalten wir wieder durch Einsetzen des erhaltenen Zahlenwerts in eine der ersten beiden Gleichungen.

Ein Punkt muss hier unbedingt beachtet werden: Wir haben den Ersatzausdruck aus der Gleichung (2) für \(x\) in die Gleichung (1) eingesetzt. Wir könnten es auch umgekehrt tun, d.h. aus der Gleichung (1) einen Ausdruck für \(x\) finden und diesen dann in Gleichung (2) einsetzen. Wichtig ist, dass wir die eine Gleichung nehmen und dann in die andere Gleichung einsetzen und nie in sich selbst einsetzen. Was passiert sonst? Wir probieren es aus:

Wir nehmen den Ausdruck, den wir aus der Gleichung (2) gewonnen haben: \(x = -4y + 8\) und setzen ihn wieder in Gleichung (2) ein:

\[ x + 4y  \;\; = \;\; 8 \]

\[ (-4y + 8) + 4y  \;\; = \;\; 8 \]

\[ 0  \;\; = \;\; 0 \]

Das ist zwar eine ”legale” Gleichung, denn null ist tatsächlich gleich null, sie bringt aber nichts!

Auch hier gilt: Wir können eine Unbekannte mit einem Ausdruck ersetzen oder einen ganzen Ausdruck.

Beispiel

Finde die Lösung für \(z\) im folgenden linearen Gleichungssystem:

\[ \begin{cases} \begin{array}{cc} \;\;x  +  2y  +  z \;\; = \;\;  4 \qquad (1) \\ 3x  +  6y  –  z \;\; = \;\;  1 \qquad (2) \\ \end{array} \end{cases} \]

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Wir erkennen in der zweiten Gleichung die Möglichkeit auszuklammern:

\[ \begin{cases} \begin{array}{cc} \;\;\;\;(x + 2y)  +  z \;\; = \;\;  4 \qquad (1) \\ 3 \cdot (x + 2y)  –  z \;\; = \;\;  1 \qquad (2) \\ \end{array} \end{cases} \]

Aus der Gleichung (1) gewinnen wir:

\[ (x + 2y) = -z + 4 \]

Jetzt setzen wir diesen Ausdruck, den wir aus (1) gewonnen haben, in die andere Gleichung (2) ein:

\[ 3 \cdot (x + 2y) – z = 1 \qquad (1) \]

\[ 3 \cdot (-z + 4) – z = 1 \]

\[ -3z + 12 -z = 1 \]

\[ -4z = -11 \quad \rightarrow \quad \underline{z = \frac{11}{4}} \]

Die Lösungen von \(x\) und \(y\) können wir nicht festlegen, da uns dazu eine Gleichung fehlt. Im Prinzip haben wir zwei Ebenen miteinander geschnitten und eine Gerade erhalten, die in der Ebene \(z=\frac{11}{4}\) liegt.

Mehrfaches Anwenden bei eine höheren Anzahl Unbekannten

Ab drei Unbekannten müssen die hier vorgestellten Lösungsverfahren mehrfach hintereinander anwenden. Wir schauen uns das an einem noch relativ einfachen Beispiel mit drei Unbekannten an. Bei einer grösseren Anzahl Unbekannte wird in gleicher Art verfahren.

Beispiel

Löse das folgende lineare Gleichungssystem:

\[ \begin{cases} \begin{array}{cc} \;\;x  –  y  +  \;\;z  \;\; = \;\;  \;\;2  \quad (1) \\ 2x  –  y  +  \;\;z  \;\; = \;\;  -3  \quad (2) \\ -x  +  y  +  2z  \;\; = \;\;  -5  \quad (3) \\ \end{array} \end{cases} \]

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Wir können beispielsweise mit den beiden Gleichungen (1) und (3) anfangen. Aus ihnen erhalten wir mit leichten Umformungen:

\[ \begin{cases} x  =  y – z + 2  \quad (1) \\ x  =  y +2z + 5  \quad (3) \end{cases} \]

Mit dem Verfahren des Gleichsetzens erhalten wir eine neue Gleichung:

\[ \require{cancel} \cancel{y} – z + 2 \;\; = \;\; \cancel{y} + 2z + 5 \]

\[ z = -1 \]

Bis dahin haben wir die Gleichungen (1) und (3) benutzt, d.h. wir setzen die gewonnene Information \((z=-1)\) sicher in (2) ein, das bisher noch nicht benutzt worden ist:

\[ 2x  –  y  +  (-1)  \;\; = \;\;  -3  \quad (2) \]

\[ 2x  –  y        \;\; = \;\;  -2  \quad (a) \]

Damit haben wir eine neue Gleichung erhalten, die (1) und (3) enthält und die wir jetzt (a) nennen. Wir brauchen aber eine zweite Gleichung, da wir immer noch zwei Unbekannte haben. Nun ist es wahr, dass wir (1) und (3) schon verwendet haben, aber damit haben wir nur eine Unbekannte eliminiert und die Anzahl Gleichungen ebenfalls um eins reduziert. Wir dürfen deshalb weiterhin die (1) oder die (3) (und da haben wir die Wahl) weiterverwenden. Nicht beide gleichzeitig, da die Zweite keine neue Information bringt.

Wir nehmen z.B. die Gleichung (1) und setzen \((z=-1)\) ein:

\[ x  –  y  +  (-1)  \;\; = \;\;  2  \quad (1) \]

\[ x  –  y        \;\; = \;\;  3  \quad (b) \]

Jetzt haben wir zwei neue Gleichungen, die zusammen ein Gleichungssystem für die Unbekannten \(x\) und \(y\) ergeben:

\[ \begin{cases} \begin{array}{cr} 2x  –  y  \; = \; & -2 \quad (a)\\ x  –  y  \; = \; & 3 \quad (b)\\ \end{array} \end{cases} \]

Aus der Gleichung \((b)\) folgt \(x = (3 + y)\), das wir in \((a)\) einsetzen können:

\[ 2 \cdot (3+y) – y  \;\; = \;\;  -2 \]

\[ 6 + 2y – y  \;\; = \;\;  -2 \]

\[ y  \;\; = \;\;  -8 \]

Schliesslich setzen wir diese Information ein in \(x = (3 + y)\) und erhalten:

\[ x = 3 + (-8) = -5 \]

Die Lösung des linearen Gleichungssystems ist somit:

\[ \underline{\boldsymbol{L} = \Big \{ (-5,-8,-1) \Big \}} \]

Rückblickend haben wir aus einem 3×3-System ein 2×2-System erhalten. Es geht immer darum die Anzahl Gleichungen und die Anzahl Unbekannten schrittweise um eins zu reduzieren, bis wir schliesslich bei einem 1×1-“System” sind, d.h. eine Gleichung mit einer Unbekannten. Danach werden rückwärts die Gleichungen benutzt, um die restlichen Unbekannten zu ermitteln.