Hyperbel

Hyperbeln mit ungeraden Exponenten

Für ungerade Exponenten \(n\) kriegen wir Verläufe, die zwar unterschiedlich aussehen, sonst aber viel gemeinsam haben.

Nachfolgend sind ihre Eigenschaften aufgelistet:

• Die Funktionen verlaufen ausschliesslich im Quadranten unten links und im Quadranten oben rechts
• Ihre gemeinsamen Punkte sind: \((-1,-1)\) und \((1,1)\), unabhängig von \(n\). In diesen Punkten wechseln die Verläufe von steil zu flach bzw. umgekehrt
• Dort wo die Verläufe steil sind, sind die Funktionen mit grösserem \(n\) steiler als solche mit kleinerem \(n\)
• Dort wo die Verläufe flach sind, haben die Funktionen mit grösserem \(n\) einen kleineren Funktionswert als diejenige mit kleinerem \(n\)
• Für \(x\)-Werte nahe dem Ursprung, d.h. mit sehr kleinem absoluten Betrag, “explodieren” die Verläufe ins Positive bzw. Negative. Die Stelle \(x=0\) ist eine Unstetigkeitsstelle.

Hyperbeln mit geraden Exponenten

Vieles ist bei den Hyperbeln mit geraden Exponenten \(n\) gleich, wie bei den Hyperbeln mit ungeraden Exponenten. Der augenfälligste Unterschied ist jedoch, dass wir ausschliesslich positive Funktionswerte haben.

Nachfolgend sind ihre Eigenschaften aufgelistet:

• Die Funktionen verlaufen nur in den beiden oberen Quadranten, d.h. die Funktionswerte sind immer positiv
• Ihre gemeinsamen Punkte sind: \((-1,1)\) und \((1,1)\), unabhängig von \(n\)
• Je grösser \(n\), desto steiler verlaufen die Funktionen im steilen Bereich und desto kleiner sind die Funktionswerte im flachen Bereich
• Der Ursprung ist eine Unstetigkeitsstelle und die Funktionswerte “explodieren” zu unendlich grossen Werten

Hyperbelfunktionen

Im Einheitskreis hatten wir die trigonometrischen Funktionen hergeleitet. Die Gleichung des Einheitskreises war (Gleichung eines Kreises mit Radius 1):

\[ x^2 + y^2 = 1 \]

Nun gibt es analog die Einheitshyperbel mit dem einzigen Unterschied, dass es sich um eine Differenz statt Summe handelt:

\[ x^2 – y^2 = 1 \]

Wenn wir die gleichen Überlegungen, wie damals bei den trigonometrischen Funktionen machen, erhalten wir die Hyperbelfunktionen:

Ihnen wird ein “h” für den Zusatz hyperbolicus angehängt:

• Sinus hyperbolicus: \(\sinh(x)\)
• Kosinus hyperbolicus: \(\cosh(x)\)
• Tangens hyperbolicus: \(\tanh(x)\)

Sie verhalten sich sehr ähnlich zu den trigonometrischen Funktionen \(\sin(x)\), \(\cos(x)\) und \(\tan(x)\). Meistens sind es nur unterschiedliche Vorzeichen.

Ableitung Hyperbelfunktionen

Dieser Artikel befasst sich im Speziellen mit der Ableitung der Hyperbelfunktionen. Für Aufgabensammlungen, Lernziele, Mini-Tests zu Ableitungen schaust du am besten im Hauptartikel zu den Ableitungsfunktionen nach.

Die Hyperbelfunktionen \(\sinh(x)\), \(\cosh(x)\) und \(\tanh(x)\) verhalten sich auch bei der Ableitung sehr ähnlich zu den trigonometrischen Funktionen. Es gibt Unterschiede bei den Vorzeichen.