Wurzeln

Die Wurzel ist eigentlich nichts anderes als eine spezielle Potenz. Sie wird entsprechend auch auf eine spezielle Art, nämlich mit einem Wurzelzeichen geschrieben. Grundsätzlich gelten aber sonst die gleichen Regeln, die wir für Potenzen kennengelernt haben.

Beachte, dass der Exponent \(n=1\) ein Spezialfall ist:

\[ \sqrt[\boldsymbol{1}]{a} = a^{(\frac{1}{\boldsymbol{1}})} = a \]

Das Ziehen einer Wurzel ist die umgekehrte Operation zum Potenzieren einer Zahl. Wenn wir beispielsweise die Zahl 3 quadrieren, d.h. mit Exponent 2 potenzieren, dann erhalten wir 9. Der umgekehrte Ablauf ist das Ziehen der Wurzel (mit Exponent 2) von der Zahl 9. Das Resultat ist 3:

Der am häufigsten vorkommende Exponent \(n=2\) wird meistens weggelassen.

\[ a^{(\frac{1}{2})} = \sqrt[2]{a} = \sqrt{a} \]

Eine solche Wurzel wird auch Quadratwurzel genannt, denn durch das Quadrieren fällt die Wurzel wieder weg. Muss sie auch, denn das Eine ist die Umkehrung des Anderen, somit landen wir schliesslich wieder dort, wo wir gestartet sind:

\[ \Bigl (\sqrt{a} \Bigr )^2 = \sqrt{(a^2)} = a \]

Eine Wurzel mit dem ebenfalls häufig vorkommenden Exponenten \(n=3\) wird Kubikwurzel oder kubische Wurzel genannt:

\[ \Bigl (\sqrt[3]{a} \Bigr )^3 = \sqrt[3]{(a^3)} = a \]

Potenzen und Wurzeln sind auf gleicher Augenhöhe, d.h. es kommt nicht darauf an, ob wir Potenzieren und dann die Wurzel ziehen oder umgekehrt.

Beispiel

Wie viel beträgt die Quadratwurzel von 4?

---

Mit der Quadratwurzel wird der Exponent \(n=2\) gemeint, d.h. wir müssen die folgende Aufgabe lösen:

\[ b = \sqrt[2]{4} \]

Wenn wir die ganze Gleichung quadrieren, erhalten wir rechts den Inhalt der Wurzel (Radikand):

\[ b^2 = (\sqrt[2]{4})^2 = 4 \]

Jetzt sind wir erstmals die Wurzel los und wir wissen \(b^2=4\). Spätestens jetzt benutzen wir \(4=2^2\). Wir können deshalb auch schreiben: \(b^2=2^2\) oder

\[ \underline{b=2} \]

Wir können diese Aufgabe auch anders lösen, indem wir \(\sqrt[n]{(a^m)} = a^{\frac{m}{n}}\) benutzen:

\[ b=\sqrt[2]{4}=\sqrt[2]{2^2}=2^{\frac{2}{2}}=2^1=\underline{2} \]

Normalform einer Wurzel

Beispiel

Bringe den folgenden Ausdruck in die Normalform:

\[ \frac{2}{\sqrt{8}} \]

---

Einen Wurzelausdruck in die Normalform zu bringen heisst in der Regel, ihn so zu erweitern, dass die Wurzel aus dem Nenner verschwindet. Hier erweitern wir den Bruch mit \(\sqrt{8}\):

\[ \frac{2 \cdot \sqrt{8}}{\sqrt{8} \cdot \sqrt{8}} = \frac{2\sqrt{8}}{8} = \frac{1}{4}\sqrt{8} \]

Wir können die Wurzel auch noch genauer anschauen. Wir suchen eine Quadratzahl in ihrem Radikanden:

\[ = \frac{1}{4}\sqrt{4\cdot2} = \frac{1}{4} \sqrt{4} \cdot \sqrt{2} \]

\[ = \underline{\frac{1}{2}\sqrt{2}} \]

Beispiel

Bringe den folgenden Ausdruck in die Normalform:

\[ \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{15}-3} \]

---

Auch hier werden wir den Bruch geeignet erweitern, damit die Wurzel im Nenner verschwindet. Wir erinnern uns dazu an die binomische Formel

\[ a^2-b^2=(a+b)(a-b) \]

Wenn wir im Nenner \((a-b)\) haben, können wir den Bruch mit \((a+b)\) erweitern und wir kriegen im Nenner \(a^2-b^2\). Das ist besonders dann praktisch, wenn \(a\) oder \(b\) eine Quadratwurzel ist, denn dadurch wird sie quadriert und verschwindet:

\[ \frac{\sqrt{3} \cdot (\sqrt{15}+3)}{(\sqrt{15}-3)(\sqrt{15}+3)} \]

\[ = \frac{\sqrt{3}\sqrt{15}+3\sqrt{3}}{(\sqrt{15})^2 – 3^2} \]

\[ = \frac{\sqrt{45} + 3\sqrt{3}}{15-9} \]

Das Innere der Wurzel \(\sqrt{45}\) ist interessant, denn auch hier ist eine Quadratzahl versteckt:

\[ \sqrt{45} = \sqrt{9 \cdot 5} \]

\[ = \sqrt{9} \cdot \sqrt{5} = 3 \cdot \sqrt{5} \]

\[ = \frac{3\sqrt{5} + 3\sqrt{3}}{6} \]

\[ = \underline{\frac{1}{2}\sqrt{5}+\frac{1}{2}\sqrt{3}} \]

Wurzeln mit geraden Exponenten

Mit welcher Methode berechnen wir einen beliebigen Wurzelwert? Wir erraten ihn oder sonst benutzen wir den Taschenrechner! In der Abbildung sehen Sie den Verlauf der Wurzelwerte einer Quadratwurzel. Wie erwartet, beträgt \(\sqrt{4}=2\). Wir können auf der x-Achse den Wert 4 nach oben ziehen und sehen, dass die Kurve die Höhe 2 hat. Analog erhalten wir:

\[ \sqrt{9}=\sqrt{3^2}=3, \quad \sqrt{16}=\sqrt{4^2}=4, \quad \text{und} \quad \sqrt{25}=\sqrt{5^2}=5 \]

Wie viel beträgt \(\sqrt{6}\) ? Wir wissen nur, dass 6 etwa auf halbem Weg zwischen 4 und 9 ist, d.h. der Wurzelwert von \(\sqrt{6}\) sollte auch irgendwo zwischen 2 und 3 liegen. Aus dem Funktionverlauf von \(y=\sqrt{x}\) lesen wir ab: etwas weniger als 2.5. Der Taschenrechner liefert tatsächlich: \(\sqrt{6}=2.449489743…\)

Der Funktionsverlauf ist eine um 90° gekippte halbe Parabel. Das ist natürlich kein Zufall, wenn doch die Quadratwurzel die Umkehrung des Quadrierens ist.

Wir erkennen auch, dass die Funktion nur für positive Werte von \(x\) definiert ist. Für negative \(x\) gibt es keine Lösungen. Dies gilt im übrigen für alle Wurzeln mit geraden Exponenten: \(\sqrt[4]{x},\,\sqrt[6]{x},\,\sqrt[8]{x},\,\)etc.

Beachte: Wenn wir nicht nur die Zahlenmenge der reellen Zahlen \(\mathbb{R}\) betrachten, sondern auch die komplexen Zahlen aus der Menge \(\mathbb{C}\) erlauben, so gibt es sehr wohl Wurzelwerte von negativen Zahlen.

Schliesslich sehen wir, dass die Wurzelwerte alle positiv sind:

Wurzeln mit ungeraden Exponenten

Wie steht es mit den Wurzeln mit ungeraden Exponenten? In der nächsten Abbildung ist der Verlauf der Wurzelwerte der kubischen Wurzel aufgezeichnet.

Als erstes sehen wir, dass \(x\) nun auch negative Werte annehmen und dass die kubische Wurzel ebenfalls negative Werte erzeugen kann. Das ist ein fundamentaler Unterschied zwischen den Wurzeln mit ungeraden Exponenten und den Wurzeln mit geraden Exponenten.

Der Grund für diesen Unterschied können wir verstehen, wenn wir die mit den Wurzeln verwandten Potenzen anschauen. Wenn wir Zahlen quadrieren, dann kriegen wir immer positive Werte, egal ob wir einen positiven oder einen negativen Wert quadrieren. Wir schaffen es nie, dass ein Quadrat jemals negativ wird:

\[ 3^2=9 \quad \text{aber auch} \quad (-3)^2=9 \]

Bei Potenzen mit ungeraden Exponenten ist die Sache anders. Hier geht das negative Vorzeichen nicht verloren, sondern wird übernommen:

\[ 3^3=27 \quad \text{und} \quad (-3)^3=-27 \]

Wenn jetzt die Wurzel das Umkehren der Potenz ist, so können wir bei ungeraden Exponenten einfach schreiben:

\[ \sqrt[3]{27}=3 \quad \text{und} \quad \sqrt[3]{-27}=-3 \]

Bei der Wurzel mit geradem Exponenten können wir aber nicht wissen, ob die 9 aus dem Quadrieren von +3 oder von -3 entstanden ist. Durch das Quadrieren ist die Information verloren gegangen. Wir müssen deshalb beide Möglichkeiten zulassen. Gleichzeitig wissen wir auch, dass der Wurzelwert positiv sein muss. Wir nehmen deshalb Betragsstriche zur Hand:

\[ \require{cancel} \sqrt{9}=\sqrt{3^2}=|\pm3| = 3 \quad \text{aber} \quad \cancel{\sqrt{-9}} \quad \text{(da für uns unbestimmt!)} \]

Irrationalität von Wurzelwerten

Anhand des Beispiels der Wurzel \(\sqrt{2}\) werden wir in die Welt der reellen Zahlen \(\mathbb{R}\) eintauchen. Was wir hier finden werden, gilt grundsätzlich auch für andere Wurzelwerte.

Wir werden dazu einen sog. Widerspruchsbeweis aufstellen. Wir behaupten einfach, dass \(\sqrt{2} \in \mathbb{Q}\), d.h. dass \(\sqrt{2}\) eine rationale Zahl ist und zeigen dann, dass das nicht aufgeht. Damit beweisen wir, dass \(\sqrt{2} \notin \mathbb{Q}\), womit folgt, dass \(\sqrt{2} \in \mathbb{R}\) gelten muss.

Wenn \(\sqrt{2}\) eine rationale Zahl ist, können wir sie mit einem Bruch beschreiben. Wir kennen aber weder den Zähler, noch den Nenner des Bruchs. Wir schreiben deshalb einfach ”\)z\) über \(n\)” und nehmen an, dass der Bruch vollständig gekürzt ist:

\[ \sqrt{2} = \frac{z}{n} \qquad (\text{mit \(z \in \mathbb{N}\) und \(n \in \mathbb{N}\)}) \]

Jetzt quadrieren wir die Gleichung

\[ 2 = \Bigl ( \frac{z}{n} \Bigr )^2 \]

Somit gilt:

\[ 2 = \frac{z \cdot z}{n \cdot n} \]

Da schon der Bruch \(\frac{z}{n}\) vollständig gekürzt war, enthalten \(z\) und \(n\) keine gemeinsamen Teiler. Deshalb enthält auch der quadrierte Bruch keine gemeinsamen Teiler in Zähler und Nenner: Der Bruch ist immer noch vollständig gekürzt.

Wir schreiben 2 als Bruch und erhalten:

\[ \frac{2}{1} = \frac{z^2}{n^2} \]

Jetzt haben wir links einen bekannten, vollständig gekürzten Bruch und rechts einen unbekannten, vollständig gekürzten Bruch. Beide Brüche haben den gleichen Bruchwert.

Wir können sehr einfach zwei Brüche aufstellen, die den gleichen Bruchwert haben, z.B. \(\frac{2}{1} = \frac{4}{2}\). Das geht aber nur übers Erweitern. Wenn aber beide Brüche vollständig gekürzt sein müssen, müssen Zähler und Nenner übereinstimmen. Daraus folgt:

\[ z^2 = 2 \quad \text{und} \quad n^2 = 1 \,\,\text{bzw.}\,\, n=1 \]

\(n=1\) ist OK, aber es gibt keine Zahl \(z \in \mathbb{N}\), die \(z^2=2\) erfüllen kann, denn \(1^2=1\) und \(2^2=4\). Den Wert 2 können wir mit Quadrieren einer natürlichen Zahl nicht erhalten. Damit haben wir den Widerspruch!…und haben damit bewiesen, dass der Wurzelwert aus 2 nicht eine rationale Zahl ist, sondern eine reelle Zahl:

\[ \sqrt{2} \in \mathbb{R} \]

Was bedeutet das? Der Wurzelwert ist eine Zahl mit unendlich vielen Kommastellen, die wir nie vollständig aufschreiben können:

\[ \sqrt{2} = 1.41421356237309504880168872420969807856967187537694807317667973799… \]

Im Jahre 1997 wurde \(\sqrt{2}\) auf mehr als 137 Milliarden Stellen berechnet. Die Rekorde wurden seither immer wieder gebrochen. Der aktuelle Rekord steht bei 10 Billionen Stellen (\(10^{13}\)) nach dem Komma.