Kreis

Kreisumfang

Jetzt wo wir die Zahl \(\pi\) haben, können wir den Umfang eines Kreises berechnen. Wenn \(\pi\) gleich dem Verhältnis von Kreisumfang \(U\) zu Durchmesser \(d\) ist, dann folgt aus der Gleichung die Formel für den Kreisumfang \(U\), wobei wir den Durchmesser auch mit dem doppelten Radius \(2r\) ersetzen können:

\[ \pi = \frac{U}{d} \quad \rightarrow \quad U = \pi d = 2 \pi r \]

Kreisbogen

Oft möchten wir aber nur einen Kreisbogen berechnen und nicht den ganzen Kreisumfang. Im folgenden Beispiel soll die Länge des Kreisbogens \(b\) berechnet werden, der einem Winkel von \(90°\) entspricht.

Aus der Grafik erkennen wir, dass der Bogen einem Viertel des ganzen Kreisumfangs entsprechen muss. Das ist natürlich kein Zufall, denn der Winkel beträgt ja \(90°\) und ist somit eben ein Viertel des ganzen Kreises mit \(360°\):

\[ b = \frac{1}{4} \cdot U = \frac{90°}{360°} \cdot U \]

Ganz allgemein, für einen Winkel \(\alpha\), gilt deshalb:

\[ b = \frac{\alpha}{360°} \cdot U = \frac{\alpha}{360°} \cdot 2 \pi r \]

Beispiel

Eine Strasse macht eine Kurve von \(45°\). Der eine Strassenrand der Kurve ist \(11.8\;\text{m}\) lang, währenddem der andere Strassenrand \(18.1\;\text{m}\) lang ist.

Wie breit ist die Strasse?

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Die Strasse kann mit zwei Bogen beschrieben werden. Der innere und damit kürzere Strassenrand ist ein Bogen mit dem kleinen Radius \(r\). Der äussere Strassenrand entspricht einem Kreisbogen mit Radius \(R\). Die Differenz der beiden Radien ergibt die Strassenbreite.

Für die beiden Bogenlängen des inneren Strassenrands (\(b_i\)) und des äusseren Strassenrands (\(b_a\)) gilt:

\[ b_i = \frac{\alpha}{360°} \cdot 2 \pi r_i \]

\[ b_a = \frac{\alpha}{360°} \cdot 2 \pi r_a \]

Wir können in beiden Fällen nach dem entsprechenden Radius auflösen:

\[ r_i = b_i \cdot \frac{360°}{\alpha 2 \pi} = 11.8\;\text{m} \cdot \frac{360°}{45° \cdot 2 \pi} \approx 15\;\text{m} \]

\[ r_a = b_a \cdot \frac{360°}{\alpha 2 \pi} = 18.1\;\text{m} \cdot \frac{360°}{45° \cdot 2 \pi} \approx 23\;\text{m} \]

Damit ist die Strassenbreite:

\[ r_a – r_i = 23\;\text{m} – 15\;\text{m} = \underline{8\;\text{m}} \]

Kreisfläche

Um die Fläche eines Kreis herzuleiten gibt es einen ziemlich einfachen, aber genialen Trick: Wenn wir den Kreis in 8 Teile schneiden und sie neu anordnen, entsteht eine “Quasi-Rechteckfläche”. Die Höhe des Rechtecks ist in etwa gleich dem Radius des Kreises. Die Länge entsteht durch die Anreihung von vier “Kuchenstücken” und damit vier Achteln des Umfangs, also \(\pi r\). Die Fläche des Rechtecks wird mit Höhe mal Länge berechnet, d.h. in diesem Fall:

\[ A \approx r \cdot (\pi r) \]

Überzeugender wird es, wenn wir den Kreis in eine grosse Zahl \(n\) Stücke schneiden und wieder so anordnen, dass ein Quasi-Rechteck entsteht. Die Hälfte der Stücke, d.h. \(\frac{n}{2}\) Stück, erzeugen wieder eine Länge von \(\pi r\) und die Höhe beträgt immer noch \(r\). Wir sehen, dass für \(n \rightarrow \infty\) wir ein perfektes Rechteck erhalten würden, d.h. dann hätten wir tatsächlich aus einer Kreisfläche eine gleich grosse Rechteckfläche gemacht!

Beispiel

Vergleiche die Fläche des Kreises mit derjenigen des umschriebenen (grösseren) Quadrats und derjenigen des eingeschriebenen (kleineren) Quadrats und zeige damit, dass

\[ 2 < \pi < 4 \]

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Das umschriebene Quadrat hat eine Seitenlänge von \(2r\). Damit ist die Fläche:

\[ A_u = (2r)^2 = 4r^2 \]

Das eingeschriebene Quadrat hat eine Diagonale von \(2r\), d.h. die Seitenlänge ist um den Faktor \(\sqrt{2}\) kleiner. Damit erhalten wir für die Fläche:

\[ A_i = \Big( \frac{2r}{\sqrt{2}} \Big)^2 = \frac{4r^2}{2} = 2r^2 \]

Die Kreisfläche beträgt ja \(A = \pi r^2\). Wenn wir jetzt die Flächen vergleichen, gilt:

\[ A_i < A < A_u \]

\[ 2r^2 < \pi r^2 < 4 r^2 \]

Wenn die Ungleichung durch \(r^2\) teilen, erhalten wir:

\[ 2 < \pi < 4 \]

Kreissektor

Kreissegment