Kreisumfang

Jetzt wo wir die Zahl $\pi$ haben, können wir den Umfang eines Kreises berechnen. Wenn $\pi$ gleich dem Verhältnis von Kreisumfang $U$ zu Durchmesser $d$ ist, dann folgt aus der Gleichung die Formel für den Kreisumfang $U$, wobei wir den Durchmesser auch mit dem doppelten Radius $2r$ ersetzen können:

\[ \pi = \frac{U}{d} \quad \rightarrow \quad U = \pi d = 2 \pi r \]

Der Kreisumfang $U$ eines Kreises mit Radius $r$ bzw. Durchmesser $d$ beträgt:

\[ U = 2 \pi r = \pi d \]

Kreisbogen

Oft möchten wir aber nur einen Kreisbogen berechnen und nicht den ganzen Kreisumfang. Im folgenden Beispiel soll die Länge des Kreisbogens $b$ berechnet werden, der einem Winkel von $90°$ entspricht.

Aus der Grafik erkennen wir, dass der Bogen einem Viertel des ganzen Kreisumfangs entsprechen muss. Das ist natürlich kein Zufall, denn der Winkel beträgt ja $90°$ und ist somit eben ein Viertel des ganzen Kreises mit $360°$:

\[ b = \frac{1}{4} \cdot U = \frac{90°}{360°} \cdot U \]

Ganz allgemein, für einen Winkel $\alpha$, gilt deshalb:

\[ b = \frac{\alpha}{360°} \cdot U = \frac{\alpha}{360°} \cdot 2 \pi r \]

Der Bogen $b$ für einen Winkel $\alpha$ aus einem Kreis mit Radius $r$ ist der entsprechende Bruchteil von einem ganzen Kreisumfang (360°):

\[ b = \frac{\alpha}{360°} \cdot 2 \pi r \]

Beispiel

Eine Strasse macht eine Kurve von $45°$. Der eine Strassenrand der Kurve ist $11.8\;\text{m}$ lang, währenddem der andere Strassenrand $18.1\;\text{m}$ lang ist.

Wie breit ist die Strasse?


Die Strasse kann mit zwei Bogen beschrieben werden. Der innere und damit kürzere Strassenrand ist ein Bogen mit dem kleinen Radius $r$. Der äussere Strassenrand entspricht einem Kreisbogen mit Radius $R$. Die Differenz der beiden Radien ergibt die Strassenbreite.

Für die beiden Bogenlängen des inneren Strassenrands ($b_i$) und des äusseren Strassenrands ($b_a$) gilt:

\[ b_i = \frac{\alpha}{360°} \cdot 2 \pi r_i \]

\[ b_a = \frac{\alpha}{360°} \cdot 2 \pi r_a \]

Wir können in beiden Fällen nach dem entsprechenden Radius auflösen:

\[ r_i = b_i \cdot \frac{360°}{\alpha 2 \pi} = 11.8\;\text{m} \cdot \frac{360°}{45° \cdot 2 \pi} \approx 15\;\text{m} \]

\[ r_a = b_a \cdot \frac{360°}{\alpha 2 \pi} = 18.1\;\text{m} \cdot \frac{360°}{45° \cdot 2 \pi} \approx 23\;\text{m} \]

Damit ist die Strassenbreite:

\[ r_a – r_i = 23\;\text{m} – 15\;\text{m} = \underline{8\;\text{m}} \]

Kreisfläche

Um die Fläche eines Kreis herzuleiten gibt es einen ziemlich einfachen, aber genialen Trick: Wenn wir den Kreis in 8 Teile schneiden und sie neu anordnen, entsteht eine “Quasi-Rechteckfläche”. Die Höhe des Rechtecks ist in etwa gleich dem Radius des Kreises. Die Länge entsteht durch die Anreihung von vier “Kuchenstücken” und damit vier Achteln des Umfangs, also $\pi r$. Die Fläche des Rechtecks wird mit Höhe mal Länge berechnet, d.h. in diesem Fall:

\[ A \approx r \cdot (\pi r) \]

Überzeugender wird es, wenn wir den Kreis in eine grosse Zahl $n$ Stücke schneiden und wieder so anordnen, dass ein Quasi-Rechteck entsteht. Die Hälfte der Stücke, d.h. $\frac{n}{2}$ Stück, erzeugen wieder eine Länge von $\pi r$ und die Höhe beträgt immer noch $r$. Wir sehen, dass für $n \rightarrow \infty$ wir ein perfektes Rechteck erhalten würden, d.h. dann hätten wir tatsächlich aus einer Kreisfläche eine gleich grosse Rechteckfläche gemacht!

Die Kreisfläche entspricht dem Quadrat des Radius mal $\pi$:

\[ A = \pi r^2 \]

Beispiel

Vergleiche die Fläche des Kreises mit derjenigen des umschriebenen (grösseren) Quadrats und derjenigen des eingeschriebenen (kleineren) Quadrats und zeige damit, dass

\[ 2 < \pi < 4 \]


Das umschriebene Quadrat hat eine Seitenlänge von $2r$. Damit ist die Fläche:

\[ A_u = (2r)^2 = 4r^2 \]

Das eingeschriebene Quadrat hat eine Diagonale von $2r$, d.h. die Seitenlänge ist um den Faktor $\sqrt{2}$ kleiner. Damit erhalten wir für die Fläche:

\[ A_i = \Big( \frac{2r}{\sqrt{2}} \Big)^2 = \frac{4r^2}{2} = 2r^2 \]

Die Kreisfläche beträgt ja $A = \pi r^2$. Wenn wir jetzt die Flächen vergleichen, gilt:

\[ A_i < A < A_u \]

\[ 2r^2 < \pi r^2 < 4 r^2 \]

Wenn die Ungleichung durch $r^2$ teilen, erhalten wir:

\[ 2 < \pi < 4 \]

Kreissektor

Kreissegment


Aufgabensammlung

  • Zahl π und Kreisberechnungen (5040) – Aufg. 2

  • Zahl π und Kreisberechnungen (5040) – Aufg. 3

  • Zahl π und Kreisberechnungen (5040) – Aufg. 4

  • Zahl π und Kreisberechnungen (5040) – Aufg. 5

  • Zahl π und Kreisberechnungen (5040) – Aufg. 6