Bogenmass

Wenn wir im Einheitskreis die Länge eines Bogens \(b\) nehmen, das dem Winkel \(\varphi\) entspricht, dann können wir diese Bogenlänge als Ersatzmass für den Winkel benutzen. Statt die üblichen ° benutzen wir beim Bogenmass die Einheit Radiant benutzen, die mit dem Kürzel rad abgekürzt wird.

Schauen wir uns zuerst ein Beispiel an: Der rechte Winkel \(\varphi = 90 °\) entspricht einem Viertel des Umfangs. Der Umfang des Einheiskreises ist mit \(r=1\):

\[ u = 2 \pi r = 2 \pi \]

Somit gilt für einen Viertel davon:

\[ b = \frac{2 \pi}{4} = \frac{\pi}{2} \]

Statt von \(\varphi = 90°\) können wir auch von einem Winkel \(b = \frac{\pi}{2}\) sprechen und das Gleiche meinen.

Beispiel

Gib den Winkel \(\varphi = 30°\) im Bogenmass an.

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Hätten wir den ganzen Umfang, dann wäre der Winkel \(360°\) und das dazugehörige Bogenmass \(2\pi\). Nun haben wir aber nur \(30°\), d.h. einen Zwölftel von einem ganzen Kreis. Somit gilt:

\[ b = \frac{30°}{360°} \cdot 2 \pi = \frac{1}{12} \cdot 2 \pi = \underline{\frac{\pi}{6}} \]

Um einen Winkel von Grad in Bogenmass umzurechnen oder umgekehrt, brauchen wir nur in Erinnerung zu haben, dass eine ganze Umdrehung \(360°\) den \(2\pi\) entspricht oder \(180°\) entsprechen \(\pi\). Teile davon berechnen wir einfach mit dem Dreisatz:

\(\varphi\)	0°	30°	45°	60°	90°	180°	270°	360°
\(b\)	\(0\)	\(\frac{\pi}{6}\)	\(\frac{\pi}{4}\)	\(\frac{\pi}{2}\)	\(\pi\)	\(\frac{3}{2} \pi\)	\(\pi\)	\(1\)

Das Bogenmass wird vor allem im Zusammenhang mit den trigonometrischen Funktionen gebraucht. Das Bogenmass ist normalerweise auch die Standardeinstellung für trigonometrische Funktionen, z.B. auf dem Computer. Wir sollten uns deshalb ab hier daran gewöhnen, dass wir nicht mehr von z.B. \(\sin(90°)=1\), sondern von \(\sin(\frac{\pi}{2})=1\) sprechen. Nachfolgend sind die trigonometrischen Funktionen \(\sin(x)\). \(\cos(x)\) und \(\tan(x)\) über die \(x\)-Werte im Bogenmass geplottet. Wir sehen sehr schön, wie die Sinus-Funktion (grün) eine Periode bei \(2\pi\) abschliesst.

Auf dem Taschenrechner können wir zwischen Grad (engl. degrees, Abkürzung DEG) und Bogenmass in Radiant (Abkürzung RAD) wechseln. Die richtige Einstellung ist wichtig, denn sonst interpretiert der Taschenrechner die Eingabe in der falschen Einheit. Wenn wir beispielsweise \(\sin(\frac{\pi}{2})\) berechnen möchten und wir aber im DEG-Modus sind, dann interpretiert der Taschenrechner den Winkel als \(\frac{\pi}{2} \approx \frac{3.14}{2} \approx 1.5°\), was natürlich weit weg ist von den \(90°\), die wir ursprünglich meinten.