Mitternachtsformel

Herleitung

Meistens haben wir nur die quadratische Gleichung vor uns und wissen nicht, wie sie als Graph aussieht. Wir wissen auch nicht, ob wir zwei, eine oder gar keine Lösung haben. Wir werden eine ganz allgemeine quadratische Gleichung lösen und daraus eine ganz allgemeine Lösung herleiten. Es ist nicht die Idee, dass du diese Herleitung selber vollziehen kannst. Es reicht aus, wenn du sie nachvollziehst und verstehst.

Wir starten mit der allgemeinsten quadratischen Gleichung in der Normalform:

\[ y(x)=ax^2+bx+c=0 \]

Wir subtrahieren beidseitig \(c\) und multiplizieren mit \(4a\).

\[ ax^2+bx=-c \]

\[ 4a^2x^2+4abx=-4ac \]

Der erste Term ist ein Quadrat. Wir schreiben deshalb

\[ (2ax)^2+4abx=-4ac \]

Wir ignorieren die rechte Seite und fokussieren voll auf die linke Seite. Wir haben schon einmal ein Quadrat. Der zweite Summand könnte der mittlere Term einer binomischen Formel sein. Wir schreiben deshalb

\[ (2ax)^2+2 \cdot (2ax) \cdot b=-4ac \]

Siehst du die binomische Formel \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\;\)? Es fehlt noch der dritte Summand. Wir addieren deshalb \(b^2\) links und rechts:

\[ (2ax)^2+2 \cdot (2ax) \cdot b + b^2=-4ac+b^2 \]

\[ \Bigl ( (2ax) + b \Bigr )^2 = b^2-4ac \]

Die ganze Arbeit hat sich gelohnt, denn wir haben jetzt nur noch einen Term, in welchem die Unbekannte \(x\) vorkommt. Jetzt ziehen wir die Wurzel beidseitig und berücksichtigen die Tatsache, dass beim Quadrieren die Information über das Vorzeichen verloren gegangen ist. Wenn wir beispielsweise die Gleichung \(z^2=9\) haben, so könnte \(z=+3\), aber auch \(z=-3\) sein. Beides führt durch Quadrieren zu \(z^2=9\). Wenn wir also die Wurzel ziehen, schreiben wir beide Möglichkeiten gleichzeitig hin: \(z=\pm3\).

Zurück zu unserer Gleichung. Nach dem Ziehen der Wurzel haben wir:

\[ \Bigl ( (2ax) + b \Bigr ) = \pm \sqrt{b^2-4ac} \]

Wir ziehen \(b\) ab und dividieren durch \(2a\):

\[ (2ax)= -b \pm \sqrt{b^2-4ac} \]

\[ x=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \]

Es ist nicht gerade der schönste Ausdruck, aber das ist sie nunmal: die allgemeine Lösung einer quadratischen Gleichung. Wir werden sie im folgendem Beispiel überprüfen.

Beispiel

Was ist die Lösung der quadratischen Gleichung \(\;x^2-x-72=0\) ?

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Mit der Produktform hatten wir einmal die Nullstellen dieser Gleichung bestimmt, indem wir das Polynom in seine Faktoren zerlegt hatten:

\[ x^2-x-72=(x+8)(x-9)=0 \]

Die Nullstellen sind die Lösungen der quadratischen Gleichung. Sie liegen bei \(x_1=-8\) und \(x_2=+9\). Damit kennen wir die Lösung schon und können so unsere allgemeine Formel überprüfen.

Wir schreiben unsere quadratische Gleichung hin und setzen sie gleich mit der allgemeinen Gleichung, so dass wir die Koeffizienten vergleichen können:

\[ x^2-x-72 \quad = \quad ax^2+bx+c \]

Die Koeffizienten sind:

\[ a=1, \quad b=-1, \quad \text{und} \quad c=-72 \]

Diese setzen wir in die allgemeine Lösung ein:

\[ x=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} = \frac{1 \pm \sqrt{1-4 \cdot 1 \cdot (-72)}}{2 \cdot 1} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 288}}{2} = \frac{1 \pm 17}{2} \]

Die Lösungen sind somit:

\[ \underline{\boldsymbol{L}=\bigl \{-8,\,\,+9 \bigr \}} \]

Es funktioniert!

Beispiel

Zeige, dass die folgende Gleichung keine Lösung hat

\[ \frac{1}{4}x^2-\frac{3}{4}x-1 = -3 \]

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Zuerst bringen wir die Gleichung in Normalform in dem wir mit 3 addieren

\[ \frac{1}{4}x^2-\frac{3}{4}x+2 = 0 \]

Die Koeffizienten sind:

\[ a=\frac{1}{4}, \quad b=-\frac{3}{4}, \quad \text{und} \quad c=2 \]

Jetzt berechnen wir die Diskriminante:

\[ \require{cancel} D=(b^2-4ac)=\Bigl \lbrack \Bigl (\frac{3}{4} \Bigr )^2 – \cancel{4} \cdot \cancel{\frac{1}{4}} \cdot 2\Bigr \rbrack = \frac{9}{16} – 2 < 0 \]

Die Diskriminante ist negativ. Wir könnten die Lösung der quadratischen Gleichung gar nicht ausrechnen, auch wenn wir wollten, denn wir müssten dazu die Wurzel einer negativen Zahl berechnen.