Nicht-lineare Gleichungssysteme

Das folgende Gleichungssystem ist wegen der Quadrate offensichtlich nicht linear. Wir haben drei Unbekannte, d.h. wir können die Lösung im dreidimensionalen Raum veranschaulichen. Im dreidimensionalen Raum stellt dann eine Gleichung eine Punktschar dar, die eine Fläche ausmacht. Die erste Gleichung ist die Fläche einer Kugel mit Zentrum im Ursprung und mit Radius \(R=2\). Die zweite Gleichung ist eine Ebene auf der Höhe \(y=\sqrt{2}\).

\[ \begin{cases} \begin{array}{rrrcrr}
x^2 & + y^2 & + z^2 & \;\; = \;\; & 4 & \quad (a) \\
& y &  & \;\; = \;\; & \sqrt{2} & \quad (b) \\
\end{array} \end{cases} \]

Wir können mit dem Einsetzverfahren \((b)\) in \((a)\) einsetzen:

\[ x^2 + (\sqrt{2})^2 + z^2 \; = \; 4 \quad \Big \vert -2 \]

\[ x^2 + z^2 \; = \; 2 \]

Die Gleichung, die wir damit erhalten ist diejenige eines Kreises mir Radius \(r=\sqrt{2}\) und Zentrum in \((x,z) = (0,0)\). Allerdings ist das nicht der Ursprung, denn wir haben ja \(y=\sqrt{2}\), d.h. im dreidimensionalen Koordinatensystem sind die Koordinaten des Kreiszentrums:

\[ (x,y,z) = (0,\sqrt{2},0) \]

Wir können uns das Gleichungssystem tatsächlich im dreidimensionalen Koordinatensystem vorstellen: Die Kugel wird durch die Ebene \(y=\sqrt{2}\) geschnitten. Ein Schnitt einer Kugel mit einer Ebene ergibt immer einen Kreis. Dieser Kreis hat den Radius \(r=\sqrt{2}\).

Wir haben drei Unbekannte und zwei Gleichungen, d.h. die Lösungsmenge hat die Dimension 1 – also handelt es sich um eine Linie.

\[ l = u – g = 3 – 2 = 1 \]

Da die Gleichung der Kugel nicht-linear ist, ist die Linie keine gerade Linie, sondern in diesem Fall ein Kreis.

Beispiel

Wir betrachten das nicht-lineare Gleichungssystem, bestehend aus zwei Kreisgleichungen:

\[ \begin{cases} \begin{array}{rrcrr}
x^2 & + y^2 & \;\; = \;\; & 9 & \quad (1) \\
(x-3)^2 & + (y-3)^2 & \;\; = \;\; & 9 & \quad (2)
\end{array} \end{cases} \]

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Die Gleichung \((1)\) stellt einen Kreis mit Radius 3 und Zentrum \(Z_1\) im Ursprung dar. Die Gleichung \((2)\) steht für einen gleich grossen Kreis mit Zentrum \(Z_2\) in \((x,y) = (3,3)\).

Wir machen zuerst eine Skizze:

Jetzt erkennen wir, dass sich die beiden Kreise in den Punkten \(A(0,3)\) und \(B(3,0)\) schneiden.

Analysieren wir die Dimensionen, so erhalten wir mit 2 Unbekannten und 2 Gleichungen eine Lösungsmenge der Dimension null, d.h. Punkte.

Aus der Gleichung \((1)\) folgt:

\[ x^2 = 9 – y^2 \]

Wir multiplizieren die Gleichung \((2)\) aus…

\[ (x^2-6x+9) + (y^2-6y+9) = 9 \quad \Big \vert -18 \]

\[ x^2 -6x + y^2 -6y = -9 \]

… und können jetzt den Ausdruck für \(x^2\) einsetzen:

\[ \require{cancel} (9 – \cancel{y^2}) – 6x + \cancel{y^2} – 6y = -9 \]

\[ -6x -6y = -18 \quad \Big \vert :(-6) \]

\[ x + y = 3 \quad \rightarrow \quad y = -x + 3 \]

Das ist die Gleichung einer Geraden in der \(x,y\)-Ebene. Erfüllen alle Punkte dieser Geraden das Gleichungssystem? Wir quadrieren den Ausdruck für \(y\):

\[ y^2 = (-x + 3)^2 = x^2 -6x + 9 \]

Jetzt setzen wir ihn in Gleichung \((1)\) nochmals ein:

\[ x^2 + y^2 = 9 \quad (1) \]

\[ \require{cancel} x^2 + \Big( x^2 -6x + \cancel{9} \Big) = \cancel{9} \]

\[ 2x^2 – 6x = 0 \]

\[ x \cdot (2x-6) = 0 \]

Diese Gleichung wird nur für zwei \(x\)-Werte erfüllt: Für \(x=0\) und für \(x=3\). Im Fall \(x=0\) erhalten wir mit der Gleichung der Geraden \(y=3\) und für \(x=3\) erhalten wir \(y=0\). Die Lösung des Gleichungssystems sind deshalb die beiden Punkte:

\[ \underline{\boldsymbol{L} = \Big \{ (0,3), \;\; (3,0) \Big \}} \]