Quadratisches Ergänzen

Kannst du in der folgenden Gleichung die Wurzel ziehen?

\[ x^2 + 2x + 1 = 9 \]

\[ \rightarrow \quad \pm\sqrt{x^2 + 2x + 1} = 3 \]

Nein, noch nicht direkt. Die Summe und der \(+2x\)-Term verunmöglichen ein einfaches Lösen. Wir benutzen deshalb zuerst die binomische Formel und erhalten eine Form, für welche wir die Wurzel ziehen können.

\[ x^2 + 2x + 1 = (x + 1)^2 = 9 \]

\[ \rightarrow \quad \pm(x+1) = 3 \]

\[ \boldsymbol{L} = \Bigl \{ 2, -4 \Bigr \} \]

In diesem Beispiel hatten wir Glück, denn wir konnten die binomische Formel anwenden. Die quadratische Ergänzung kommt dann zum Zug, wenn wir die binomische Formel nicht anwenden werden können. Wir können den Term aber so ergänzen, dass die binomische Formel danach doch benutzt werden kann.

Diese Methode haben wir bereits in der Herleitung der allgemeinen Lösung der quadratischen Gleichung angewendet. Wir werden sie hier nochmals genauer anschauen und üben. Das Ziel ist, eine binomische Formel zu bekommen, obwohl man keine hat! Das Praktische an der binomischen Formel ist, dass wir damit die Terme \(x^2\) und \(x\) in einen einzigen Term zu stehen kommt, so dass wir die Wurzel ziehen können.

Als Beispiel nehmen wir die folgende quadratische Gleichung

\[ x^2-18x+80 = 0 \]

Jetzt versuchen wir sie zu einer binomischen Gleichung zu machen:

\[ x^2-18x+80 \;\; \stackrel{?}{=} \;\; a^2+2ab+b^2 \]

\[ = \;\; (a+b)^2 \]

Offensichtlich passt die Gleichung aber noch nicht. Wir tun nichts dergleichen und machen trotzdem einen Koeffizientenvergleich: Für den ersten Term können problemlos \(a=x\) setzen. Der zweite Term \((-18x)\) muss dem Term \(+2ab\) entsprechen, d.h. mit \(a=x\) kriegen wir:

\[ -18x = 2 \cdot x \cdot b \]

\[ \rightarrow \quad b=-9 \]

Jetzt haben wir \(a\) und \(b\) und können unsere binomische Formel hinschreiben:

\[ a^2+2ab+b^2 \;\; = \;\; x^2 -18x + 81 \]

Jetzt stimmt es fast, aber eben nicht ganz. Wir haben 81 statt 80. Egal! Wir schreiben unsere Gleichung mit dem +80 hin, dann schreiben wir statt +80 einfach +81-1, weil es das Gleiche ist und führen dann unsere binomische Formel ein:

\[ x^2-18x+80 = (x^2-18x+81) -1 \]

\[ = (x-9)^2 -1 = 0 \]

Nun haben wir nicht mehr zwei Terme mit \(x^2\) und \(x\), sondern nur noch \(x\) in der Klammer, die quadriert wird. Wir addieren mit 1 und ziehen die Wurzel, indem wir uns daran erinnern, dass wir ja eine positive und eine negative Lösung haben könnten:

\[ (x-9)^2 = 1 \]

\[ x-9 = \pm 1 \]

Jetzt addieren wir 9 und erhalten die beiden Lösungen:

\[ x=9 \pm 1 \quad \text{bzw.} \quad \boldsymbol{L}=\bigl \{ 8,\,\,10 \bigr \} \]

Tatsächlich ist das auch gleich die Faktorzerlegung, denn wir haben:

\[ x^2-18x+80 = (x-8)(x-10) \]

Beispiel

Löse die folgende quadratische Gleichung mit Hilfe der quadratischen Ergänzung:

\[ 4v^2-12vw=9(1-w^2) \]

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Wir bringen die Gleichung zuerst in Normalform:

\[ 4v^2-12vw-9+9w^2=0 \]

Unser Ziel ist wieder die binomische Formel \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\). Wir sehen, dass der erste Term ein Quadratterm ist, somit setzen wir:

\[ a^2=4v^2 \quad \text{bzw.} \quad a=2v \]

Der zweite Term müsste \(2ab\) sein, gemäss binomischer Formel:

\[ -12vw \stackrel{!}{=} +2ab = 2 \cdot (2v) \cdot b \]

und somit

\[ b=-3w \]

Unsere binomische Formel ist demnach:

\[ a^2+2ab+b^2 \]

\[ = (2v)^2 + 2 \cdot (2v) \cdot (-3w) + (-3w)^2 \]

\[ = 4v^2 -12vw + 9w^2 \]

Die ersten beiden Terme stimmen, weil wir ja \(a\) und \(b\) so gefittet haben. Der dritte Term stimmt in der Regel nicht. Wir schreiben jetzt die Originalgleichung nochmals hin, aber so dass wir den binomischen Teil in Klammern abtrennen können:

\[ 4v^2-12vw-9+9w^2 \]

\[ =(4v^2-12vw+9w^2)-9\]

\[ =(2v-3w)^2-9=0 \]

Jetzt addieren wir 9 und ziehen die Wurzel:

\[ (2v-3w)^2=9 \]

\[ 2v-3w=\pm 3 \]

Damit kriegen wir die Lösungen für \(v\) :

\[ \underline{v=\frac{3w \pm 3}{2}=\frac{3}{2}(w \pm 1)} \]