Funktionen strecken und stauchen

Hier sind die Verläufe der gestreckten und gestauchten Funktion. Beachte, dass der Abstand der beiden Nullstellen der ursprünglichen Funktion $f_1(x)$ genau 4 beträgt.

Wenn wir das Argument in der Funktion mit dem Faktor 2 multiplizieren, so wird der Funktionsverlauf um den Faktor 2 gestaucht. $$f_2(x) = f_1(2x) = -(2x)^2 + 4$$ $$f_2(x) = -4x^2 + 4$$ Wenn wir die Funktion horizontal strecken möchten, dann müssen wir das Argument in der Funktion mit dem Kehrwert von 2 multiplizieren, d.h. durch 2 dividieren: $$f_3(x) = f_1\Big(\frac{1}{2}x\Big) = -\Big(\frac{1}{2}x\Big)^2 + 4$$ $$f_3(x) = -\frac{1}{4}x^2 + 4$$ Wir sehen, dass in beiden Fällen der Achsabschnitt nicht verändert wurde: Er beträgt immer noch (+4). Schauen wir uns jetzt die Nullstellen an. Wir setzen die gestauchte Funktion $f_2(x)$ zu null und lösen nach $x$ auf: $$f_2(x) = -4x^2 + 4 \;\; \stackrel{!}{=} \;\; 0$$ $$-4x^2 = -4$$ $$x^2 = 1$$ Diese Gleichung wird für zwei $x$-Werte erfüllt. Sicher für $x=1$, aber auch für $x=-1$. Das sind unsere beiden Nullstellen, die einen Abstand von 2 zueinander haben. Er ist tatsächlich zweimal kleiner als bei der ursprünglichen Funktion. Für die gestreckte Funktion $f_3(x)$ gehen wir analog vor: $$f_3(x) = -\frac{1}{4}x^2 + 4 \;\; \stackrel{!}{=} \;\; 0$$ $$-\frac{1}{4}x^2 = -4$$ $$-x^2 = -16$$ $$x^2 = 16$$ Diese Gleichung hat auch wieder zwei Lösungen, nämlich $x=4$ und $x=-4$. Der Abstand zwischen den beiden Nullstellen beträgt also 8, doppelt so viel wie bei der ursprünglichen Funktion.