Funktionen strecken und stauchen

Hier sind die Verläufe der gestreckten und gestauchten Funktion. Beachte, dass der Abstand der beiden Nullstellen der ursprünglichen Funktion \(f_1(x)\) genau 4 beträgt.

Wenn wir das Argument in der Funktion mit dem Faktor 2 multiplizieren, so wird der Funktionsverlauf um den Faktor 2 gestaucht. \[ f_2(x) = f_1(2x) = -(2x)^2 + 4 \] \[ f_2(x) = -4x^2 + 4 \] Wenn wir die Funktion horizontal strecken möchten, dann müssen wir das Argument in der Funktion mit dem Kehrwert von 2 multiplizieren, d.h. durch 2 dividieren: \[ f_3(x) = f_1\Big(\frac{1}{2}x\Big) = -\Big(\frac{1}{2}x\Big)^2 + 4 \] \[ f_3(x) = -\frac{1}{4}x^2 + 4 \] Wir sehen, dass in beiden Fällen der Achsabschnitt nicht verändert wurde: Er beträgt immer noch (+4). Schauen wir uns jetzt die Nullstellen an. Wir setzen die gestauchte Funktion \(f_2(x)\) zu null und lösen nach \(x\) auf: \[ f_2(x) = -4x^2 + 4 \;\; \stackrel{!}{=} \;\; 0 \] \[ -4x^2 = -4 \] \[ x^2 = 1 \] Diese Gleichung wird für zwei \(x\)-Werte erfüllt. Sicher für \(x=1\), aber auch für \(x=-1\). Das sind unsere beiden Nullstellen, die einen Abstand von 2 zueinander haben. Er ist tatsächlich zweimal kleiner als bei der ursprünglichen Funktion. Für die gestreckte Funktion \(f_3(x)\) gehen wir analog vor: \[ f_3(x) = -\frac{1}{4}x^2 + 4 \;\; \stackrel{!}{=} \;\; 0 \] \[ -\frac{1}{4}x^2 = -4 \] \[ -x^2 = -16 \] \[ x^2 = 16 \] Diese Gleichung hat auch wieder zwei Lösungen, nämlich \(x=4\) und \(x=-4\). Der Abstand zwischen den beiden Nullstellen beträgt also 8, doppelt so viel wie bei der ursprünglichen Funktion.