Nullstellen

Nullstellen

Unter Nullstellen verstehen wir die Schnittpunkte des Funktionsgraphen mit der \(x\)-Achse. Die \(x\)-Achse zeichnet sich dadurch aus, dass die \(y\)-Werte null sind, d.h. unsere Funktion kreuzt die \(x\)-Achse, wenn der Funktionswert null ist.

Wir erhalten die Nullstellen, indem wir die Funktionsgleichung auf null setzen.

Beachte, dass grundsätzlich mehr als eine Nullstelle möglich ist, d.h. der Funktionsgraph kann die x-Achse in mehreren Punkten schneiden. Im Gegensatz dazu gibt es vom Achsabschnitt immer nur einen Punkt, in welchem der Funktionsgraph die y-Achse schneidet.

Beispiel

Finde die Nullstelle der linearen Funktion \(f(x)=3x+6\).

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Wir setzen die Funktionsgleichung auf null:

\[ 3x+6 \;\; \stackrel{!}{=} \;\; 0 \]

Wir lösen diese Gleichung nach \(x\) auf und subtrahieren als Erstes 6.

\[ 3x = -6 \]

Jetzt dividieren wir mit 3 und erhalten die Lösung für \(x\):

\[ \underline{x = -2} \]

Die Nullstelle liegt bei \(x=-2\), d.h. der Funktionsgraph schneidet die \(x\)-Achse an dieser Stelle.

Beachte, dass es genau eine Lösung gibt, d.h. der Funktionsgraph schneidet die \(x\)-Achse nur an einem Ort. In anderen Fällen kann es mehr als eine Nullstelle geben. Gewisse Funktionen haben auch keine Nullstelle, weil der Funktionsverlauf die \(x\)-Achse gar nie schneidet.

Beispiel

Ermittle die Nullstellen der folgenden Funktion:

\[ f(x) = \frac{1}{5}x^3-\frac{8}{5}x^2+3x \]

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Wir setzen die Funktionsgleichung gleich null und versuchen dann die linke Seite zu faktorisieren.

\[ \frac{1}{5}x^3-\frac{8}{5}x^2+3x = 0 \]

Als Erstes klammern wir \(\frac{1}{5}\) und \(x\) aus:

\[ \frac{1}{5} \cdot \Big( x^3- 8x^2 + 15x \Big) = 0 \]

\[ \frac{1}{5}x \cdot \Big( x^2- 8x + 15 \Big) = 0 \]

Den Klammerterm können wir mit dem Klammeransatz lösen:

\[ \frac{1}{5}x \cdot \Big( x-3 \Big) \cdot \Big(x-5 \Big) = 0 \]

Jetzt haben wir die linke Seite vollständig faktorisiert. Nun ist es sehr einfach zu ermitteln, für welche \(x\)-Werte die linke Seite null wird. Die linke Seite wird null, wenn nur einer der Faktoren null ist, d.h. für \(\underline{x=0}\), \(\underline{x=3}\) oder \(\underline{x=5}\). Die Funktion schneidet die \(x\)-Achse 3-mal und zwar genau an diesen Orten.