Summenzeichen

Verwendung des Summenzeichens

In der Lernforschung wurde herausgefunden, dass das mathematische Summenzeichen, der griechische Grossbuchstabe Sigma (\(\Sigma\)) bei vielen Schülerinnen und Schülern ein gewisses Unbehagen auslöst.

Als Schüler mochte ich es auch nicht. Der Buchstabe wirkt ein bisschen aggressiv…Keine Angst! Das Summenzeichen kann weder etwas für sein Aussehen (wenn schon sind die alten Griechen 🏛️ schuld!), noch ist die Benützung des Summenzeichens besonders schwierig.

\[ \text{Summe} = \sum_{\text{Zähler} \,\, = \,\, \text{Anfangswert}}^{\text{Endwert}} \Bigl ( \text{Term} \Bigr ) \]

Das Summenzeichen hat folgende Bestandteile:

• Es steht ein Term nach dem Summenzeichen, über welchen summiert werden soll (das ist der Summand)
• Es gibt einen Zähler, meistens mit \(i, j\) oder \(k\) benannt, unter dem Summenzeichen. Er läuft immer in Einerschritten
• Unter dem Summenzeichen steht der Anfangswert des Zählers. Der Zähler läuft ab und inklusive diesem Anfangswert.
• Über dem Summenzeichen steht der Endwert des Zählers. Der Zähler läuft bis und mit diesem Endwert.

Der Term im Summenzeichen ist mit \(i\), dem Zähler, ausgedrückt. Wir stellen uns vor, dass dieser Zähler vom Anfangswert bis zum Endwert geht und sich mit Einerschritten hochzählt. Die einzelnen Ausdrücke werden summiert:

\[ \sum_{\text{i} = {3}}^{7} \Bigl ( a_i \Bigr ) = a_3 + a_4 + a_5 + a_6 + a_7 \]

Wenn das Summenzeichen in einer Rechnung oft wiederholt wird, ist es üblich die Schreibweise etwas zu vereinfachen:

Hier werden Anfangs- und Endwert weggelassen. Wir schreiben höchstens noch den Namen des Zählers unter das Summenzeichen hin, falls es zu Verwechslungen kommen könnte. Falls nicht, kann auch der Zähler unter dem Summenzeichen weg gelassen werden.

Die fünf Eigenschaften des Summenzeichens

Das Summenzeichen hat fünf Eigenschaften, die relativ einfach bewiesen werden können. Mit Hilfe dieser Eigenschaften können wir das Summenzeichen vereinfachen oder gar algebraisch lösen, bevor wir gross mit Zahlen rechnen müssen.

Die fünf Eigenschaften sind:

• Eigenschaft (1): \(\sum_{i}^{ } \Bigl ( a_i + b_i \Bigr ) = \sum_{i}^{ } a_i + \sum_{i}^{ } b_i\)
• Eigenschaft (2): \(\sum_{i}^{ } \Bigl ( k \cdot a_i \Bigr ) = k \cdot \sum_{i}^{ } a_i\)
• Eigenschaft (3): \(\sum_{i=1}^{n} = \sum_{i=1}^{n} 1 = n\)
• Eigenschaft (4): \(\sum_{i=1}^{n} i = \frac{n(n+1)}{2}\)
• Eigenschaft (5): \(\sum_{i=u}^{o} a_i =  \sum_{i=1}^{o} a_i – \sum_{i=1}^{u-1} a_i\)

Summe im Summenzeichen (1)

Wenn wir eine Summe in einem Summenzeichen haben, können wir daraus eine Summe von Summenzeichen machen.

Dass dem wirklich so ist, sehen wir, wenn wir das Summenzeichen links ausschreiben. Wir nehmen den Fall, wo der Zähler \(i\) von 1 bis \(n\) läuft:

\[ \sum_{i=1}^{n} \Bigl ( a_i + b_i \Bigr ) = (a_1 + b_1) + (a_2 + b_2) + … + (a_n + b_n) \]

Jetzt schreiben wir die Summe ohne Klammern und bringen die gleichartigen Summanden zusammen:

\[ = a_1 + b_1 + a_2 + b_2 + … + a_n + b_n \]

\[ = \big(a_1 + a_2 + …. + a_n\big) + \big(b_1 + b_2 + … + b_n\big) \]

Die beiden Klammern sind nichts anderes als zwei einzelne Summen, die wir mit je einem Summenzeichen schreiben können:

\[ = \sum_{i=1}^{n} a_i + \sum_{i=1}^{n} b_i \]

Damit haben wir gezeigt, dass eine Summe in einem Summenzeichen als Summe von Summenzeichen geschrieben werden kann:

\[ \sum_{i}^{ } \Bigl ( a_i + b_i \Bigr ) = \sum_{i}^{ } a_i + \sum_{i}^{ } b_i \]

Faktor im Summenzeichen (2)

Wenn wir im Summenzeichen einen Faktor haben, so können wir ihn aus dem Summenzeichen herausholen und ihn mit dem Summenzeichen multiplizieren. Es handelt sich dabei um ein Ausklammern.

Wichtig ist, dass der Faktor unabhängig vom Zähler ist, d.h. er ist bei allen Summanden genau gleich.

Wir schreiben auch hier wieder als erstes die Summe aus:

\[ \sum_{i=1}^{n} \Bigl ( k \cdot a_i \Bigr ) = (k \cdot a_1) + (k \cdot a_2) + … + (k \cdot a_n) \]

Wir lassen die Klammern weg, da das Produkt \(k \cdot a_i\) stärker bindet und damit keine Klammern nötig sind.

Da jeder Summand den Faktor \(k\) enthält, können wir ihn ausklammern:

\[ k a_1 + k a_2 + k a_3 + … + k a_n \]

\[ = k \cdot \big(a_1 + a_2 + a_3 + … + a_n\big) \]

Jetzt können wir den Inhalt der Klammer mit einem Summenzeichen ersetzen:

\[ k \cdot \big(a_1 + a_2 + a_3 + … + a_n\big) \]

\[ = k \cdot \sum_{i=1}^{n} a_i \]

Damit ist auch diese Eigenschaft gezeigt: Wir können den Faktor ausklammern.

\[ \sum_{i}^{ } \Bigl ( k \cdot a_i \Bigr ) = k \cdot \sum_{i}^{ } a_i \]

Wichtig ist, dass der Faktor \(k\) nicht vom Zähler im Summenzeichen abhängig ist, also darf sich mit variierendem \(i\) das \(k\) nicht ändern.

Summe “ohne” Inhalt (3)

Wenn eine Summe keinen Inhalt hat, so ist das nicht ganz so. Es ist vielmehr eine unsichtbare eins.

Wenn wir lauter einsen summieren, müssen wir nur wissen, wie viele es waren. Der Zähler geht von \(1\) bis \(n\), d.h. es sind genau \(n\) einsen. So kriegen wir:

\[ \sum_{i=1}^{n} = \sum_{i=1}^{n} 1 \]

\[ = (1 + 1 + 1 + … + 1) = n  \]

Wir erhalten so die Eigenschaft (3):

\[ \sum_{i=1}^{n} = \sum_{i=1}^{n} 1 = n \]

Der Trick von Gauss

Bei der Eigenschaft (4) haben wir den Zähler in der Summe:

\[ \sum_{i=1}^{n} i = 1 + 2 + 3 + … + n \]

Es ist eigentlich einfaches Kopfrechnen und wir könnten jetzt einfach loslegen. Da gibt es aber einen genial einfachen Trick, den ich hier zeigen möchte.

Nach einer Anekdote soll Ende des 18. Jahrhunderts ein Junge im Mathematikunterricht so unterfordert gewesen sein, dass ihm der Lehrer die Aufgabe erteilte, die natürlichen Zahlen von \(1\) bis \(60\) zusammen zu zählen.

Damit wäre dieser lästige Junge ein Weilchen beschäftigt, dachte sich der Lehrer. Der Kleine war aber nicht irgendein Junge, sondern Johann Carl Friedrich Gauss (1777 – 1855), der später zu einem der herausragendsten Mathematiker und Physiker wurde!

Gauss löste die Aufgabe mit folgendem Trick: Er schrieb die Addition der vielen Zahlen etwas um:

\[ 1 + 2 + 3 + … + 59 + 60 \]

\[ = (1 + 60) + (2 + 59) + (3 + 58) + … \]

Er nahm die erste und die letzte Zahl und bildete damit ein Pärchen. Dann nahm er die zweite und die zweitletzte Zahl und bildete das zweite Pärchen, dann die dritte und drittletzte Zahl usw.

Interessanterweise ist der Wert der Pärchen in den Klammern immer genau 61, d.h. jetzt müssen wir uns nur überlegen, wie viele solche Klammern es gibt.

Da wir insgesamt 60 Zahlen haben und wir Pärchen bilden, müssen es 30 Pärchen sein. Die Summe der natürlichen Zahlen von \(1\) bis \(60\) beträgt also:

\[ 1 + 2 + 3 + … + 60 = 30 \cdot 61 = 1830 \]

Das war das Resultat, das Gauss nach kurzer Rechnung erhielt – ganz zur Verzweiflung seines Lehrers. 😝

Summe des Zählers (4)

Jetzt gehen wir zurück zur allgemeinen Summe der natürlichen Zahlen von 1 bis zu einer frei wählbaren oberen Grenze \(n\):

\[ \sum_{i=1}^{n} i = 1 + 2 + 3 + … + n \]

Wir wenden den Trick von Gauss an, d.h. wir bilden wieder die Summe der ersten und der letzten Zahl, der zweiten und der zweitletzten Zahl etc.

\[ = \big(n + 1\big) + \big( (n-1) + 2 \big) + \big( (n-2) + 3 \big) + … \]

\[ = \big(n + 1\big) + \big( n-1+2 \big) + \big( n-2+3 \big) + … \]

\[ = \big(n + 1\big) + \big( n + 1 \big) + \big( n + 1 \big) + … \]

Die Pärchen ergeben immer die Summe \((n+1)\). Wir vergleichen kurz mit dem Zahlenbeispiel von vorhin: Die obere Grenze war 60 und das entspricht unserem \(n\), d.h. die Pärchen wären dann 60+1 = 61. Stimmt!

Wie viele Pärchen hat es? Im allgemeinen Fall sind es \(n\) Zahlen und somit \(\frac{n}{2}\) Pärchen, d.h. die Summe errechnet sich mit dem Trick von Gauss zu:

\[ \sum_{i=1}^{n} i = \frac{n}{2} \cdot (n+1) \]

Damit haben wir die praktische Eigenschaft (4).

Summe mit angehobener unterer Grenze (5)

Beachte, dass die Eigenschaften (3) und (4) nur angewendet werden dürfen, wenn der Anfangswert des Summenzeichens 1 ist.

Was machen wir, wenn in unserem Summenzeichen die untere Grenze nicht eins ist?

Dann wenden wir die Eigenschaft (5) an und machen daraus zwei Summenzeichen mit unterer Grenze eins. Ab hier können wir dann (3) und (4) anwenden.

Nehmen wir wieder das Beispiel, das Gauss als kleiner Junge rechnen musste. Was gibt 10+11+12+…+60 ? Wir starten nicht bei 1, sondern bei 10.

Du kannst wieder den Trick von Gauss anwenden und Pärchen bilden (10+60), (11+59) etc. Das geht, wir wählen aber einen anderen Weg:

Inwiefern ist diese neue Aufgabe anders als die Ursprüngliche? Wir dürfen 1+2+3+…+8+9 nicht zählen, sondern erst ab 10.

Wie wär es, wenn wir trotzdem bei 1 beginnen und am Schluss einfach das “Zu-Viel-Gezählte” wieder abziehen?

\[ \sum_{i=10}^{60} i \;\;=\;\;  1830 \;-\; \big(1 + 2 + 3 + … + 9\big) \]

Die erste Zahl ist das Ergebnis der Summe von 1 bis 60. Die Klammer beinhaltet die Summe der Zahlen 1 bis 9:

\[ \sum_{i=1}^{9} i = \frac{9}{2} \cdot (9+1) = 45 \]

So erhalten wir die Lösung 1830 – 45 = 1785.

Wir haben folgendes gerechnet:

\[ \sum_{i=10}^{60} i \;\;=\;\;  \sum_{i=1}^{60} i – \sum_{i=1}^{(9)} i \]

Wir verallgemeinern und ersetzen 60 mit der oberen Grenze \(o\), und 10 mit der unteren Grenze \(u\). Im Summenzeichen haben wir einen ganz allgemeinen Term \(a_i\), der von \(i\) abhängt:

\[ \sum_{i=u}^{o} a_i \;\;=\;\;  \sum_{i=1}^{o} a_i – \sum_{i=1}^{(u-1)} a_i \]

Nochmals: Der grosse Vorteil liegt darin, dass wir aus einer Summe mit einer angehobenen unteren Grenze, die nicht eins war, zwei Summen mit unterer Grenze eins machen können, so dass wir die Eigenschaften (3) und (4) anwenden dürfen.

In den folgenden zwei Beispielen soll gezeigt werden, wie wir mit Hilfe der Eigenschaften (1) bis (5) elegant mit Summenzeichen umgehen können.