Reihen

Um die explizite Definition dieser Folge zu finden, stellen wir eine kleine Tabelle auf:

\(a_n\)	\(\frac{1}{2}\)	\(\frac{1}{6}\)	\(\frac{1}{12}\)	\(\frac{1}{20}\)	\(\frac{1}{30}\)	\(\frac{1}{42}\)
\(n\)	1	2	3	4	5	6
\(n+1\)	2	3	4	5	6	7

Siehst du es schon? Der Nenner ist jeweils das Produkt \(n(n+1)\). Somit haben wir die explizite Definition: \[ a_n = \frac{1}{n(n+1)} \] Gesucht ist jetzt die unendliche Summe \(s_\infty\): \[ s_\infty = \sum_{k=1}^{\infty} \Big( \frac{1}{k(k+1)} \Big) \] Wir werden jetzt den Bruch etwas umschreiben, so dass wir zwei Brüche erhalten. OK, zugegeben, dazu muss ich etwas in die Trickkiste greifen : \[ \frac{1}{k(k+1)} = \frac{k+1\;\;-k}{k(k+1)} = \frac{k+1}{k(k+1)} – \frac{k}{k(k+1)} \] \[ = \frac{1}{k} – \frac{1}{k+1} \] Mit Hilfe der Eigenschaft (1) des Summenzeichens schreibe ich die unendliche Summe als Summe von zwei Summenzeichen: \[ s_\infty \;\;=\;\; \sum_{k=1}^{\infty} \Big( \frac{1}{k(k+1)} \Big) \;\;=\;\; \sum_{k=1}^{\infty} \Big( \frac{1}{k} \Big) – \sum_{k=1}^{\infty} \Big( \frac{1}{k+1} \Big) \] Ganz fies ist jetzt, dass die erste Summe der unendlichen Summe der harmonischen Reihe entspricht. Das Spezielle an der harmonischen Reihe ist, dass sie divergiert, obwohl die Folgeglieder immer kleiner werden, d.h. \(\sum_{k=1}^{\infty} \big( \frac{1}{k} \big) \rightarrow \infty\). Wir können das Problem aber umschiffen. Dazu ersetzen wir den Zähler im zweiten Summenzeichen mit \(j=k+1\): \[ s_\infty \;\;=\;\; \sum_{k=1}^{\infty} \Big( \frac{1}{k} \Big) – \sum_{j=2}^{\infty} \Big( \frac{1}{j} \Big) \] Das zweite Summenzeichen ist gleich wie das erste Summenzeichen, ausser dem ersten Summanden, der fehlt. Wir schreiben deshalb: \[ s_\infty \;\;=\;\; \sum_{k=1}^{\infty} \Big( \frac{1}{k} \Big) – \big(\sum_{j=1}^{\infty} \Big( \frac{1}{j} \Big) \;-\; 1\big) \] Ohne die Klammer, erhalten wir jetzt: \[ \require{cancel} s_\infty \;\;=\;\; \cancel{\sum_{k=1}^{\infty} \Big( \frac{1}{k} \Big)} – \cancel{\sum_{j=1}^{\infty} \Big( \frac{1}{j} \Big)} \;+\; 1 \] Unglaublich! Wir sind die beiden unendlichen Monster-Summen losgeworden! \[ \underline{s_\infty = 1} \]