Explizite Definition

Folgeglieder können auf zwei Arten mathematisch beschrieben werden:

• Explizite Definition: Formel für die direkte Berechnung jedes Zahlenglieds
• Rekursive Definition: Formel für die Berechnung des nächsten Zahlenglieds aufgrund des aktuellen Zahlenwerts

Die explizite Definition ist eine Formel, die uns erlaubt den Zahlenwert \(a_n\) eines Folgeglieds direkt aufgrund seiner Position \(n\) in der Folge zu berechnen.

Wenn wir beispielsweise die folgende explizite Definition hinschreiben:

\[ a_n = 2^{n-1} \]

Können wir die ersten drei Glieder der Folge berechnen als

\[ a_1 = 2^{1-1} = 1, \quad a_2 = 2^{2-1} = 2, \quad a_3 = 2^{3-1} = 4 \]

Somit ist die Folge:

\[ (a_n) = 1,\,2,\,4,\,… \]

Der grosse Vorteil der expliziten Definition ist, dass wir direkt z.B. das 27. Glied berechnen können:

\[ a_{27} = 2^{27-1} = 2^{26} \]

In diesem Fall ist es natürlich eine sinnlos grosse Zahl, aber so geht’s.

So praktisch die explizite Definition auch ist, so ist der umgekehrte Weg, von der Folge zu der expliziten Definition, nicht immer einfach.