Das Wichtigste in Kürze

Die Funktion \(f\) ordnet einer Stelle \(x\) einen Funktionswert \(f(x)\) zu. Wird der Funktionswert als “Höhe” \(y\) übernommen, bilden all Funktionswerte den Verlauf der Funktion \(f(x)\) im zweidimensionalen \(x\),\(y\)-Koordinatensystem:

\[ f(x):\;\;\;\;x\; \mapsto \; y=f(x) \]

Die (erste) Ableitungsfunktion \(f'(x)\) ist die Zuordnung von \(x\) auf den Wert der Steigung der Funktion \(f(x)\) an dieser Stelle. Sie bildet deshalb selber wieder eine Funktion:

\[ f'(x):\;\;\;\;x\; \mapsto \;\frac{d}{dx}f(x) \]

Die Funktion sagt uns, wie gross der Funktionswert ist an jeder Stelle \(x\). Die Ableitungsfunktion sagt uns die Steigung von \(f\) an jeder Stelle \(x\).

Häufigste Fragen

Für die erste Ableitungsfunktion \(f'(x)\) wird die Funktion \(f(x)\) einmal abgeleitet:

\[ f'(x) = \frac{d}{dx} f(x) \]

Leiten wir diese erste Ableitungsfunktion nochmals ab, erhalten wir die zweite Ableitungsfunktion:

\[ f”(x) = \frac{d}{dx} f'(x) = \frac{d^2}{dx^2} f(x) \]

Die erste Ableitungsfunktion \(f'(x)\) gibt uns zu jeder Stelle \(x\) die Steigung der Funktion \(f(x)\). Wir brauchen sie, um bestimmte Steigungen einer Funktion zu finden.

Von besonderem Interesse ist die Steigung null. Wenn der Verlauf der Funktion horizontal ist, haben wir einen sog. Extrempunkt, d.h. ein Maximum, ein Minimum oder einen Terrassenpunkt (einen Wendepunkt mit horizontaler Steigung).

In vielen Aufgaben wird ein Maximum oder ein Minimum gesucht. Dazu wird zuerst die Ableitungsfunktion \(f'(x)\) bestimmt und diese dann null gesetzt:

\[ f'(x) \stackrel{ ! }{=} 0 \quad \rightarrow \quad x = … \]

Daraus kriegen wir den \(x\)-Wert, für den die Funktion maximal bzw. minimal ist.

Die zweite Ableitungsfunktion \(f”(x)\) gibt uns zu jeder Stelle \(x\) die Krümmung der Funktion \(f(x)\).

Für Maxima ist die Krümmung negativ. Die zweite Ableitungsfunktion \(f”(x)\) beschreibt die “Steigung der Steigung”. Wenn sie negativ ist, heisst das, dass die Steigung immer mehr abnimmt.

Bei einem Maximum steigt die Funktion an, flacht dann in der Nähe des Maximums allmählich ab, Nach dem Maximum fällt die Funktion ab, d.h. die Steigung nimmt weiter ab und wird negativ.

Für Minima ist die Krümmung positiv.

Ist die Krümmung null, bedeutet es, dass wir weder ein nach oben gekrümmtes Minimum, noch ein nach unten gekrümmtes Maximum haben, sondern einen Wendepunkt.

Bestimmung der ersten Ableitungsfunktion

Um die erste Ableitungsfunktion \(f'(x)\) zu bestimmen, müssen wir von \(f(x)\) die erste Ableitung ermitteln. Dazu leiten wir den Ausdruck einmal ab.

Beispiel: Erste Ableitungsfunktion einer linearen Funktion

Was ist die erste Ableitungsfunktion \(f'(x)\) der linearen Funktion \(f(x)\) ?

\[ f(x) = 2x \]

Wir bilden die erste Ableitung von \(2x\), die eigentlich eine Polynomfunktion ist:

\[ f(x) = 2 \cdot x^1 \quad \rightarrow \quad \underline{f'(x) = 2} \]

Diese Ableitungsfunktion hat immer den gleichen Funktionswert, nämlich 2, d.h. dass die Funktion \(f(x)\) überall, für alle Werte von \(x\), die konstante Steigung 2 hat. Das ist natürlich richtig, denn eine lineare Funktion \(f(x)\) hat überall die gleiche Steigung.

In den nachfolgenden Artikeln kannst du die ersten Ableitungsfunktionen der bestimmten Funktionstypen nachschauen:

Beachte, dass deine Funktion möglicherweise eine Kombination von solchen Funktionen ist. DIn solchen Fällen helfen dir die folgenden Ableitungsregeln:

Ist die Funktion eine Umkehrfunktion, dann kannst du sie wie folgt ableiten:

Hast du eine Funktion, die oben nicht aufgelistet ist? Wirklich? Dann würde ich mal googeln und wenn das auch nicht hilft, gibt es leider nur noch den Weg über den Differenzialquotienten.

Beispiel: Zeige, dass Kosinus die Ableitungsfunktion des Sinus ist

Kosinus als erste Ableitung des Sinus
Verlauf der Sinus-Funktion

Wenn wir den Verlauf der Sinusfunktion anschauen, stellen wir fest, dass an den Stellen \(\frac{\pi}{2}\) und \(\frac{3\pi}{2}\) wir ein Maximum und ein Minimum haben. Das wiederholt sich natürlich weiter nach rechts für \(\frac{5\pi}{2}\), \(\frac{7\pi}{2}\), \(\frac{11\pi}{2}\) etc. und genauso auch nach links.

Die Steigung ist jeweils null. Die erste Ableitungsfunktion, die uns zu jeder Position \(x\) eine Steigung \(f'(x)\) zuordnet, hat an diesen Stellen je eine Nullstelle.

An den Stellen \(x=0\) und \(x=2\pi\) ist die Steigung positiv. Wir werden bald sehen, dass sie genau \(1\) ist. An den Stellen \(x=\pi\) und \(x=3\pi\), aber auch in \(x=-\pi\) haben wir eine negative Steigung. Aus Symmetrieüberlegungen muss ihr Betrag in dem Fall auch \(1\) sein, d.h. die Steigung ist dort \(-1\). Wir kriegen so die wichtigsten Punkte der Ableitungsfunktion des Sinus:

PunktA1A2A3A4A5
\(x\)…0\(\frac{\pi}{2}\)\(\pi\)\(\frac{3\pi}{2}\)\(2\pi\)…
\(f(x)=\sin(x)\)…0+10-10…
\(f'(x)\)…positivnullnegativnullpositiv…

Wenn wir die Punkte der Ableitungsfunktion verbinden, entsteht die Vermutung, dass die Ableitungsfunktion des Sinus’ tatsächlich der Kosinus ist.

Kosinus als erste Ableitung des Sinus
Verlauf der Kosinus-Funktion

Um dies wirklich zu zeigen, benutzen wir den Differentialquotienten. Dazu benötigen wir im Zähler die Differenz \(\Delta f = f(x+\Delta x) – f(x)\).

\[ f(x)=\sin(x) \]

\[ f(x+\Delta x)=\sin(x+\Delta x) \]

Wir benutzen die Identität \(\sin(\alpha + \beta) = \sin(\alpha)\cos(\beta) + \cos(\alpha)\sin(\beta)\) und erhalten so:

\[ f(x+\Delta x)=\sin(x)\cos(\Delta x) + \cos(x)\sin(\Delta x) \]

Da wir nachher den Grenzwert für \(\Delta x \rightarrow 0\) bestimmen werden, benutzen wir die Tatsache, dass der Kosinus von einem sehr kleinen Winkel \(\Delta x\) praktisch eins ist:

\[ \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \big (\cos(\Delta x) \big ) = 1 \]

Mit der gleichen Argumentation würden wir beim Sinus null erhalten. Wir gehen aber ein bisschen weniger weit und benutzen die Tatsache, dass der Sinus auch mit einer unendlichen Reihe ausgedrückt werden kann:

\[ \sin(\Delta x) = \Delta x – \frac{\Delta x^3}{3!} + \frac{\Delta x^5}{5!} – \frac{\Delta x^7}{7!} + … \]

Wenn wir jetzt die Tatsache berücksichtigen, dass \(\Delta x\) eine sehr kleine Zahl ist, dann können wir Potenzen von \(\Delta x\) vernachlässigen. Wir kriegen deshalb für kleine \(\Delta x\):

\[ \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \big (\sin(\Delta x) \big ) \approx \Delta x \]

Wir setzen diese beiden Approximationen ein und erhalten:

\[ f(x+\Delta x)=\sin(x)\cdot 1 + \cos(x)\cdot \Delta x \]

Wir stellen jetzt den Differentialquotienten auf und kürzen \(\Delta x\) im Bruch:

\[ \require{cancel} f'(x) = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \Big (\frac{\cancel{\sin(x)} + \cos(x)\cdot \Delta x – \cancel{\sin(x)}}{\Delta x} \Big ) \]

\[ \require{cancel} = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \Big (\frac{\cos(x)\cdot \cancel{\Delta x}}{\cancel{\Delta x}} \Big ) = \cos(x)  \]

Damit ist gezeigt, dass der Kosinus die erste Ableitungsfunktion des Sinus ist:

\[ f'(x) = \frac{d}{dx}\sin(x) = \cos(x) \]

Bestimmung der zweiten Ableitungsfunktion

Für die zweite Ableitungsfunktion braucht es eine zweite Ableitung der Funktion \(f(x)\), d.h. eine weitere Ableitung der ersten Ableitungsfunktion \(f'(x)\).

\[ f'(x) = \frac{d}{dx} f(x) \]

\[ f”(x) = \frac{d}{dx} \Big( f'(x) \Big) = \frac{d^2}{dx^2} f(x) \]

Beispiel: Zweite Ableitungsfunktion einer linearen Funktion

Was ist die zweite Ableitungsfunktion \(f”(x)\) der linearen Funktion \(f(x)\) ?

\[ f(x) = 2x \]

Wir bilden die erste Ableitung von \(2x\):

\[ f'(x) = 2 \]

Jetzt leiten wir diese Funktion nochmals ab:

\[ \underline{f”(x) = 0} \]

Da die Funktion \(f'(x)\) eine Zahl ist, d.h. konstant ist, ändert sie sich nicht. Die Änderung der Änderung ist damit null, denn die Zahl wird sich nicht ändern.

Damit haben wir eine zweite Ableitung, die null ist, d.h. die Funktion \(f\) hat keine Krümmung. Obwohl das jetzt banal ist, stimmt es aber: Eine lineare Funktion hat tatsächlich keine Krümmung!

Beispiel: Zweite Ableitungsfunktion der Sinus-Funktion

Was ist die zweite Ableitungsfunktion \(f”(x)\) der Sinus-Funktion \(f(x)=\sin(x)\) ?

Wir bilden die erste Ableitung von \(\sin(x)\):

\[ f'(x) = \frac{d}{dx} \sin(x) = \cos(x) \]

Jetzt leiten wir diese Kosinus-Funktion nochmals ab:

\[ f”(x) = \frac{d}{dx} \cos(x) = \underline{-\sin(x)} \]

Wir kriegen wieder die Sinusfunktion, jedoch mit negativem Vorzeichen.

Anwendung der Ableitungsfunktion

In der Differentialrechnung bilden wir oft die erste Ableitungsfunktion, wenn wir Extrema suchen, d.h. Maxima und Minima. Warum? Weil dort, wo die Funktion \(f\) ein Maximum oder ein Minimum hat, die Steigung null ist.

Die Ableitungsfunktion ist an dieser Stelle null, d.h. wenn wir zuerst die Ableitungsfunktion ermitteln und dann von ihr die Nullstellen bestimmen, haben wir damit die Extrema der Funktion gefunden.

Beispiel: Scheitelpunkt einer Parabel bestimmen

Bestimme die Koordinaten des Maximums der quadratischen Funktion \(f(x)\) (Parabel):

\[ f(x) = -x^2 + 3x – 1 \]

Wir bilden die erste Ableitung von \(f(x)\), die eine Polynomfunktion ist:

\[ f'(x) = -2x + 3 \]

Für diese neue Funktion suchen wir die Nullstellen, d.h. wir setzen die Ableitungsfunktion zu null und schauen, für welche \(x\)-Werte das erfüllt ist:

\[ -2x + 3 \; \stackrel{!}{=} \; 0 \]

Wir lösen die lineare Gleichung:

\[ -2x = -3 \]

\[ \underline{x = \frac{3}{2}} \]

An der Stelle \(x=1.5\) haben wir eine verschwindende Steigung. Bei einer Parabel mit negativem Vorzeichen vor dem \(x^2\) muss es sich um ein Maximum handeln, weil der Bogen der Parabel unten offen ist.

Jetzt brauchen wir noch die \(y\)-Koordinate des Maximums. Diese finden wir mit Hilfe der Funktion \(f(x)\) an der Stelle des Maximums:

\[ f(1.5) = -(1.5)^2 + 3 \cdot 1.5 – 1 = 1.25 \]

Damit befindet sich das Maximum bei \(\underline{M(1.5, \,1.25)}\).

Aufgabensammlung

  • Einführung Differentialrechnung (5018) – Aufg. 1

  • Einführung Differentialrechnung (5018) – Aufg. 2

  • Einführung Differentialrechnung (5018) – Aufg. 3

  • Erste Ableitungen (5021) – Aufg. 1

  • Erste Ableitungen (5021) – Aufg. 2

  • Erste Ableitungen (5021) – Aufg. 3

  • Erste Ableitungen (5021) – Aufg. 4

  • Produkt-, Quotienten- und Kettenregel (5025) – Aufg. 1

  • Produkt-, Quotienten- und Kettenregel (5025) – Aufg. 2

Lernziele

  • Du kannst in eigenen Worten beschreiben, warum die Ableitung einer Funktion eine neue Funktion produziert, die Ableitungsfunktion.
  • Du beherrschst die korrekte Notation der ersten Ableitungsfunktion, wie auch diejenige mit dem Differenzialoperator.
  • Du kannst mit Hilfe des Differenzialquotienten die erste Ableitungsfunktion von einfachen Beispielen berechnen.
  • Du kennst die Ableitungsregel für Potenzfunktionen und kannst sie korrekt anwenden, auch auf Hyperbeln (Potenzen mit negativem Exponenten).
  • Du kennst die ersten Ableitungsfunktionen der trigonometrischen Funktionen \(sin(x)\), \(cos(x)\) und \(tan(x)\) auswendig.
  • Du kennst die spezielle Eigenschaft, dass die erste Ableitungsfunktion der natürlichen Exponentialfunktion gleich sich selbst ist.
  • Du kannst in eigenen Worten erklären, warum diese Eigenschaft dazu führt, dass z.B. ein Wachstum einer Bakterienpopulation exponentiell verläuft.
  • Du kannst die Exponentialfunktion und deren Ableitung in Beispielen anwenden.

Weitere Links

Kosinus als erste Ableitung des Sinus

Ableitungsfunktion

höhere Ableitungen (Steigung, Krümmung) geben uns Minima, Maxima und Sattelpunkte

Höhere Ableitungen

Ableitungsfunktion (Wikipedia)

Autor dieses Artikels:

David John Brunner

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