Ableitungsfunktion

Wenn wir den Verlauf der Sinusfunktion anschauen, stellen wir fest, dass an den Stellen \(\frac{\pi}{2}\) und \(\frac{3\pi}{2}\) wir ein Maximum und ein Minimum haben. Das wiederholt sich natürlich weiter nach rechts für \(\frac{5\pi}{2}\), \(\frac{7\pi}{2}\), \(\frac{11\pi}{2}\) etc. und genauso auch nach links.

Die Steigung ist jeweils null. Die erste Ableitungsfunktion, die uns zu jeder Position \(x\) eine Steigung \(f'(x)\) zuordnet, hat an diesen Stellen je eine Nullstelle.

An den Stellen \(x=0\) und \(x=2\pi\) ist die Steigung positiv. Wir werden bald sehen, dass sie genau \(1\) ist. An den Stellen \(x=\pi\) und \(x=3\pi\), aber auch in \(x=-\pi\) haben wir eine negative Steigung. Aus Symmetrieüberlegungen muss ihr Betrag in dem Fall auch \(1\) sein, d.h. die Steigung ist dort \(-1\). Wir kriegen so die wichtigsten Punkte der Ableitungsfunktion des Sinus:

Punkt		A1	A2	A3	A4	A5
\(x\)	…	0	\(\frac{\pi}{2}\)	\(\pi\)	\(\frac{3\pi}{2}\)	\(2\pi\)	…
\(f(x)=\sin(x)\)	…	0	+1	0	-1	0	…
\(f'(x)\)	…	positiv	null	negativ	null	positiv	…

Wenn wir die Punkte der Ableitungsfunktion verbinden, entsteht die Vermutung, dass die Ableitungsfunktion des Sinus’ tatsächlich der Kosinus ist.

Um dies wirklich zu zeigen, benutzen wir den Differentialquotienten. Dazu benötigen wir im Zähler die Differenz \(\Delta f = f(x+\Delta x) – f(x)\).

\[ f(x)=\sin(x) \]

\[ f(x+\Delta x)=\sin(x+\Delta x) \]

Wir benutzen die Identität \(\sin(\alpha + \beta) = \sin(\alpha)\cos(\beta) + \cos(\alpha)\sin(\beta)\) und erhalten so:

\[ f(x+\Delta x)=\sin(x)\cos(\Delta x) + \cos(x)\sin(\Delta x) \]

Da wir nachher den Grenzwert für \(\Delta x \rightarrow 0\) bestimmen werden, benutzen wir die Tatsache, dass der Kosinus von einem sehr kleinen Winkel \(\Delta x\) praktisch eins ist:

\[ \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \big (\cos(\Delta x) \big ) = 1 \]

Mit der gleichen Argumentation würden wir beim Sinus null erhalten. Wir gehen aber ein bisschen weniger weit und benutzen die Tatsache, dass der Sinus auch mit einer unendlichen Reihe ausgedrückt werden kann:

\[ \sin(\Delta x) = \Delta x – \frac{\Delta x^3}{3!} + \frac{\Delta x^5}{5!} – \frac{\Delta x^7}{7!} + … \]

Wenn wir jetzt die Tatsache berücksichtigen, dass \(\Delta x\) eine sehr kleine Zahl ist, dann können wir Potenzen von \(\Delta x\) vernachlässigen. Wir kriegen deshalb für kleine \(\Delta x\):

\[ \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \big (\sin(\Delta x) \big ) \approx \Delta x \]

Wir setzen diese beiden Approximationen ein und erhalten:

\[ f(x+\Delta x)=\sin(x)\cdot 1 + \cos(x)\cdot \Delta x \]

Wir stellen jetzt den Differentialquotienten auf und kürzen \(\Delta x\) im Bruch:

\[ \require{cancel} f'(x) = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \Big (\frac{\cancel{\sin(x)} + \cos(x)\cdot \Delta x – \cancel{\sin(x)}}{\Delta x} \Big ) \]

\[ \require{cancel} = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \Big (\frac{\cos(x)\cdot \cancel{\Delta x}}{\cancel{\Delta x}} \Big ) = \cos(x)  \]

Damit ist gezeigt, dass der Kosinus die erste Ableitungsfunktion des Sinus ist:

\[ f'(x) = \frac{d}{dx}\sin(x) = \cos(x) \]