Frequenz

Die Frequenz kann Unterthema der Kreisbewegung sein. Du findest dort zusätzliche Infos.

Frequenz

Die Frequenz (wie die Periode) wird in der Physik sehr viel gebraucht. Hier ein paar Beispiele:

• Schwingungen und Wellen: Die Frequenz ist ein Mass für die Anzahl Ausschläge pro Zeit
• Kreisbewegungen: Die Frequenz gibt an, wie viele Kreisumdrehungen pro Zeit stattfinden
• Astrophysik: Die Frequenz ist ein Mass für die Anzahl Wiederholungen pro Zeit. Das kann das “Blinken” eines Quasars sein, das Auftreten von Sonnenflecken (1 mal pro 11 Jahre) etc.
• Elektrizität: Die Frequenz besagt, wie oft eine Wechselspannung einen vollen Sinus durchläuft, pro Zeit

Allen Frequenzen gemeinsam ist die Anzahl Ereignisse pro Zeit. Die Anzahl ist ein Zahl (keine Einheit) und die Zeit hat die Grundeinheit “Sekunde”. Die Frequenz \(f\) hat deshalb folgende Einheit:

\[ [\;f\;] = \frac{1}{\text{s}} = \text{s}^{-1} = \text{Hz} \]

Die Einheit “pro Sekunde” kann auch als “Sekunde hoch minus eins” oder als “Hertz” geschrieben werden. Diese Schreibweisen sind alle gleichwertig.

Die Einheit “Hertz” ist benannt nach Heinrich Rudolf Hertz (1857-1894), der als erster die Existenz der elektromagnetischen Wellen nachweisen konnte, die James Clerk Maxwell (1831-1879) vorausgesagt hatte.

Beispiel	Frequenz
Eine Uhr, die einmal pro Sekunde tickt.	\(f=1\; \text{Hz}\)
Der Minutenzeiger einer Uhr braucht 1 Stunde bzw. 3600 Sekunden, um eine Umdrehung zu machen. Anders gesagt: Er macht 1/3600 Umdrehungen pro Sekunde.	\(f=\frac{1}{3600}\;\text{s}^{-1}\)
Die Wechselspannung in unseren Steckdosen schwingt 3000 mal pro Minute zwischen +325 V und -325 V.	\(f=50\;\text{Hz}\)
Eine Brücke schwingt leicht hoch und runter, genau 2 mal pro Sekunde.	\(f=2\;\text{Hz}\)
Das menschliche Herz schlägt bei ruhigem Puls etwa 60 mal pro Minute.	\(f=1\;\text{Hz}\)

Umrechnung Frequenz zu Periode

Die Periode sagt, wie lange es dauert, bis sich ein Ereignis wiederholt. Es ist eigentlich das Gleiche, wie die Frequenz, nur umgekehrt formuliert. Nehmen wir das Beispiel mit dem Herzschlag, jedoch mit einem etwas schnelleren Puls von 120.

Für die Frequenz haben wir “120 Herzschläge pro Minute”. Das “pro Zeit” ist unmissverständlich eine Frequenz:

\[ f = \frac{120}{1\;\text{min}} = \frac{120}{60\;\text{s}} = 2\;\text{s}^{-1} = 2\;\text{Hz} \]

Die Periode \(T\) ist jetzt einfach der Kehrwert der Frequenz:

\[ T = \frac{1}{f} = \frac{1}{2\;\text{Hz}} = \frac{1}{2\;\text{s}^{-1}} = \frac{1}{2}\;\text{s} \]

Es dauert von einem Herzschlag zum nächsten genau eine halbe Sekunde. Klar! Damit haben zwei Herzschläge pro Sekunde Platz.

Umrechnung Frequenz zu Winkelgeschwindigkeit

Bei Kreisbewegungen beschreibt die Frequenz die “Anzahl Umdrehungen pro Zeit”, z.B. dreht ein Motor mit 4800 Umdrehungen pro Minute. Die Frequenz in Hertz beträgt dann:

\[ f = \frac{4800}{1\;\text{min}} = \frac{4800}{60\;\text{s}} = 80\;\text{s}^{-1} = 80\;\text{Hz} \]

Oft brauchen wir für Kreisbewegungen die Kreisfrequenz bzw. Winkelgeschwindigkeit \(\omega\). Sie misst nicht die Anzahl Umdrehungen pro Zeit, sondern die “Bogenmasse pro Zeit”.

Das lässt sich aber leicht umrechnen, denn pro ganze Umdrehung haben wir 360° bzw.\)2\pi\) in Bogenmass (Radian). Es gilt deshalb:

\[ \omega = 2\pi \cdot f \]

Überlagerung von Sinusfunktionen im Frequenzspektrum

In Natur und Technik kommt eine Frequenz selten alleine. Wir haben viel öfters mit ganzen “Frequenzgemischen” zu tun. Hier gibt es ein sehr nützliches Werkzeug, nämlich das Frequenzspektrum.

Das Frequenzspektrum ist ein wichtiges Instrument in der Physik. Es ist ein Diagramm mit der Frequenz \(f\) auf der horizontalen Achse. Die vertikale Achse sagt etwas über die “Stärke”, mit welcher die entsprechende Frequenz im Signal enthalten ist.

Mit dem Frequenzspektrum können wir durch diese andere Darstellung neue Erkenntnisse gewinnen. Interessant ist, dass jedes Signal, sowohl in der üblichen zeitlichen Darstellung, die für Schwingungen sehr üblich ist, wie auch als Frequenzspektrum dargestellt werden kann.

Wir werden für die Frequenzdarstellung jeweils einen gefärbten Hintergrund setzen, damit du die beiden “Sichtweisen” besser unterscheiden kannst.

Als erstes Beispiel schauen wir uns die ganz einfache Sinusfunktion an mit der Frequenz \(f=1\,\text{Hz}\). Die zeitliche Darstellung ist die Übliche: Wir sehen die bekannte Sinuskurve mit der Periode \(T=\frac{1}{f}=1\,\text{s}\).

In der Frequenzdarstellung (eingefärbter Hintergrund) ist das Diagramm fast leer. Es kommt ja nur gerade eine Frequenz vor. Wir haben deshalb einen Ausschlag bei 1 Hz. Die Höhe dieses Ausschlags entspricht der Amplitude des Signals.

Im zweiten Beispiel schauen wir uns eine harmonische Schwingung an mit der Frequenz \(f=2\,\text{Hz}\) an. Die Amplitude ist jetzt etwas kleiner. In der Frequenzdarstellung kriegen wir einen etwas kleineren Ausschlag bei 2 Hz.

Die Stärke des Frequenzspektrums wird mit dem dritten Beispiel sichtbar: Wenn wir die beiden obigen Schwingungen einander überlagern, erhalten wir die Summe von zwei Sinusfunktionen:

\[ f(x) = A_1 \cdot \sin(2\pi f_1 \cdot t) + A_2 \cdot \sin(2\pi f_2 \cdot t) \]

Gleich nachfolgend siehst du in blau die zeitliche Darstellung dieser Überlagerung der beiden ursprünglichen Funktionen (in rot und grün).

Ein geübter Beobachter könnte am Verlauf der blauen Kurve erahnen, dass es eine Überlagerung von zwei Schwingungen mit Frequenzen \(f_1\) und \(f_2\) ist. Man kann auch \(f_2 = 2 \cdot f_1\) erkennen, aber das ist bereits schon etwas anspruchsvoller.

Im Frequenzspektrum sehen wir diese Überlagerung auf einen Blick und auch die beteiligten Frequenzen sind sofort ersichtlich!

Fügen wir dem obigen Gemisch noch eine dritte Frequenz \(f_3=3 \cdot f_1\) mit kleiner Amplitude hinzu, erhalten wir folgenden zeitlichen Verlauf.

Ein Zusatz einer vierten Frequenz führt zu einem immer rechteckiger wirkenden Signal. Beachte aber, dass das Signal eine Summe von harmonischen Schwingungen (reine Sinus-Funktionen) ist.

Reale Frequenzspektren von Instrumenten

Die Stimmgabel produziert aus Sicht des Frequenzspektrums einen sehr reinen Ton mit einer einzigen, dominierenden Frequenz. Eigentlich handelt es sich bei der Stimmgabel um zwei reale Federpendel.

Natürlich gibt es auch andere Frequenzen, die vorkommen – wir haben ja einen realen und nicht einen idealen Fall. Das hat vor allem mit dem Resonanzkasten zu tun, der den Ton der Stimmgabel verstärkt. Er schwingt zum Teil auch mit anderen Frequenzen, die die Stimmgabel eigentlich gar nicht produziert.

In der zeitlichen Darstellung (weisser Hintergrund) erkennen wir den praktisch perfekten Sinus-Verlauf. In der Frequenzdarstellung (eingefärbter Hintergrund) erkennen wir die dominierende Frequenz der Stimmgabel weit links.

Der Ton einer Flöte sieht im zeitlichen Verlauf ein bisschen so aus, als wären nur zwei Frequenzen einander überlagert worden. Im Frequenzspektrum erkennen wir aber eine ganze Reihe von Frequenzen, die aus dem allgemeinen Rauschen hervorstechen. Auffallend ist auch, dass sie alle einen gleichen Abstand zu einander haben.

Der Grund ist einfach: Es handelt sich um das Frequenzspektrum einer stehenden Welle. Bei der Flöte geht Schallwellen in der Luftsäule im Innern der Flöte hoch und runter. An beiden Enden werden diese Wellen reflektiert, so dass eine stehende Welle entsteht.

Bei stehenden Wellen sehen wir typischerweise ganzzahlige Vielfache der Grundfrequenz, so dass Vielfache der Wellenlänge mit der Länge der Flöte zusammenpassen. Die Wellen mit den anderen Frequenzen löschen sich gegenseitig aus.

Bei der Violine sieht der zeitliche Verlauf ganz anders aus, als bei der Flöte. Das ist ja auch der Grund, warum eine Violine ganz anders tönt als eine Flöte, obwohl beide den gleichen Ton spielen.

Im Frequenzspektrum erkennen wir wieder die Signatur der stehenden Welle mit den regelmässig angeordneten Ausschlägen bei den ganzzahligen Vielfachen der Grundfrequenz. Bei der Violine haben wir tatsächlich transversale Seilwellen auf der Saite, die eine stehende Welle erzeugen.

Die menschliche Stimme funktioniert wie ein Blasinstrument. Eine Luftsäule wird in Schwingung versetzt. Wir erhalten wieder die sich wiederholenden Ausschläge bei ganzzahligen Vielfachen der Grundfrequenz.