Wahrscheinlichkeit

Wir können auf dem Computer das Würfeln sehr einfach simulieren und ihn eine Tabelle erstellen lassen. In dieser Tabelle zählen wir einfach die Anzahl, wie oft ein Ereignis $E_i$ eingetreten ist. Als Ereignisse nehmen wir die sog. Elementarereignisse, die jeweils nur ein Ergebnis beinhalten: \[ E_1=\big\{1\big\}, \; E_2=\big\{2\big\}, \; … \quad \rightarrow \quad E_i=\big\{i\big\} \]…

Wir nehmen wieder das gleiche Zufallsexperiment mit den gleichen Zahlen nach 20 Versuchen und nach 100 Versuchen. Dieses Mal legen wir nach jedem Wurf einen passenden “Ball” in das Fach der geworfenen Augenzahl. Damit entsteht eine Art Histogramm und die Höhe der Säule entspricht der absoluten Häufigkeit $H_n$ für das entsprechende Ereignis. Nach 20 Versuchen…

Für die Veranschaulichung dieses Begriffs schauen wir uns ein einfaches Beispiel an. Wir würfeln mit drei Würfeln gleichzeitig und ermitteln die Würfelsumme. Jede Würfelsumme, die wir kriegen heisst Ergebnis unseres Zufallsexperiment. Die Würfel können einzeln die Zahlen 1 bis 6 anzeigen, d.h. die niedrigste Summe ist 1+1+1=3 und die höchste Summe ist 6+6+6=18. Dazwischen ist…

Auf wie viele Arten können wir die drei Buchstaben $A$, $B$ und $C$ nacheinander aufschreiben? Wir können uns diese Möglichkeiten notieren und werden schnell herausfinden, dass es sechs Möglichkeiten sind, nämlich: \[ (A,B,C),\;\; (A,C,B),\;\; (B,A,C),\;\; (B,C,A),\;\; (C,A,B),\;\; (C,B,A) \] Wir können das aber auch etwas systematischer angehen mit dem sog. Baumdiagramm oder Ereignisbaum: Das Diagramm…

In der Stochastik ist das Urnenmodell ein beliebtest Anschauungsbeispiel. Es geht darum, dass wir uns eine imaginäre, mit Kugeln gefüllte Urne vorstellen. Das Konzept des Urnenmodells geht mindestens auf das antike Griechenland zurück. Im mathematischen Kontext, wie hier, geht das Urnenmodell auf den Schweizer Mathematiker und Physiker Jakob I Bernoulli (1655-1705) zurück, der das Urnenmodell…

Wir wissen, dass in einem Zufallsexperiment gewisse Ergebnisse möglich sind, andere nicht. Die möglichen Ergebnisse sind Elemente des Ergebnisraums $\Omega$, der Menge aller möglichen Ergebnisse $\omega_i$. Sehr oft sind wir an eine Wahrscheinlichkeit interessiert, für die mehrere Ergebnisse in Frage kommen. Beispielsweise interessiert uns die Wahrscheinlichkeit, mit einem Würfel eine gerade Zahl zu werfen. Die…

Mit den Ereignismengen lässt es sich rechnen! Die dazugehörige Algebra schauen wir uns hier an. Zum Anfang ein paar einfache Grundsätze, die aber nicht besonders nützlich sind. Schneiden wir die Ergebnismenge $A$ mit sich selbst, kriegen wir natürlich nichts Neues, denn $A$ geschnitten mit $A$ ist natürlich einfach $A$. Das Gleiche gilt auch für die…

Bei der Durchführung von Zufallsexperimenten erhalten wir natürlich nicht immer das gewünschte Ereignis $E$ – es ist eben Zufall. Gemäss dem Gesetz der grossen Zahlen folgen die vielen Resultate aber einer gewissen Logik. Wenn wir das Experiment immer öfters durchführen, gleicht sich die relative Häufigkeit $h_n(E)$ das Ereignis $E$ zu erhalten immer mehr einem bestimmten…

Bei mehrstufigen Zufallsexperimenten betrachten wir mehrere Experimente nach einander. Schauen wir uns ein erstes Beispiel an:  Beispiel Ein Spieler trifft den Teil der Dartscheibe, der Punkte gibt, mit 80% Wahrscheinlichkeit. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass er dann den Kreissektor 20 trifft? Die Dartscheibe hat 20 gleich grosse Kreissektoren. Zur Vereinfachung nehmen wir an, dass…

Mit Laplace-Experimenten meinen wir Zufallsversuche, die die ganz bestimmte Eigenschaft besitzen, dass ihre Ergebnisse alle die gleiche Wahrscheinlichkeit haben. Das macht die Rechnung meist einfacher oder überhaupt erst möglich. In sehr vielen Fällen können wir ein Zufallsexperiment als Laplace-Experiment behandeln und entsprechend die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen Ergebnisse alle gleich setzen. Die Laplace-Experimente sind nach…

Unabhängige Ereignisse Die  Unabhängigkeit von Ereignissen ist sehr wichtig in der Stochastik. Achtung! Nicht zu verwechseln mit der Unvereinbarkeit. Ereignisse sind für uns unabhängig, wenn die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten des einen Ereignisses nicht vom Eintreten des anderen Ereignisses abhängt. Die beiden Ereignisse “es regnet” und “ich werde nass” sind offensichtlich abhängig von einander. Ich…

Wenn es unabhängige Ereignisse gibt, gibt es natürlich auch solche, die abhängig sind. Wir schauen uns das an einem Beispiel an. In einer Klasse mit 24 Schülerinnen und Schülern (14 Schülerinnen und 10 Schülern) hat es insgesamt 4 Brillenträger: 3 Schüler tragen eine Brille und 1 Schülerin. Wir fragen uns, wie gross ist die Wahrscheinlichkeit,…

Das Wichtigste in Kürze Video (zu diesem Thema gibt es noch kein Video) In diesem Video wird die Theorie erklärt und mit Beispielen illustriert. Um das Video anzusehen, musst du eingeloggt sein. Um das Video anzusehen, brauchst du mehr Eulen. Eulen nachkaufen ???? (-3 ????) Andrei Kolmogorow (1903 – 1987) war ein sowjetischer Mathematiker und…