Kombinatorik

Kombinationen: k-Permutationen ohne Reihenfolge Bei den Permutationen und k-Permutationen haben wir bisher immer die Reihenfolge berücksichtigt. Das mussten wir fast, denn wenn wir Permutationen sind per Definition “verschiedene Reihenfolgen”. Nehmen wir als Beispiel drei mathematische Objekte, die wir einfach \(A\), \(B\) und \(C\) nennen. Wenn es nicht mehr darauf ankommt, in welcher Reihenfolge sie stehen…

Permutationen unterschiedlicher Objekte In der Mathematik sind \(n\)-Tupel eine Anordnung von \(n\) mathematischen Objekten in einer bestimmten Reihenfolge, z.B. \((B,R,W)\) für die Kugeln blau, rot und weiss, genau in dieser Reihenfolge. Ändern wir die Reihenfolge z.B. zu \((W,R,B)\), so erhalten wir ein anderes Tupel, eine sog. Permutation: \[ (B,R,W) \neq (W,R,B) \] Beispiel: Die drei…

Im deutschsprachigen Raum werden \(k\)-Permutationen meistens Variationen genannt. Dieser neue Begriff kann verwirren. In der angelsächsischen Literatur gibt des den Begriff der Variation nicht. Vielmehr wird von \(k\)-Permutationen gesprochen, was ich eigentlich auch sinnvoller finde, denn es handelt sich bei Variationen wirklich nur um Teil-Permutationen von \(k\) Objekten aus der Grundmenge \(n\). Wie bei den…

Binomialkoeffizient als kompakte Formel Der Binomialkoeffizient ist eine Rechenvorschrift für zwei (natürliche) Zahlen \(n\) und \(k\). In der Kombinatorik wird er sehr viel benutzt, weil er die Schreibweise wesentlich vereinfacht. Geschrieben wird er mit einer grossen Klammer und der Zahl \(n\) oben und der Zahl \(k\) unten: \[ \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} \] Ausgesprochen…

Aufgaben in der Kombinatorik sind meistens Textaufgaben. Hier ist es wichtig zu wissen, dass es eigentlich nur vier Möglichkeiten gibt, mit vier Formeln. Wir werden hier nicht die einzelnen Fälle diskutieren, sondern sie nur kurz vorstellen. Um den richtigen Fall unter den vier Möglichkeiten herauszufinden, stellen wir zwei Fragen: Die erste Frage kann relativ einfach…