Kombinationen: k-Permutationen ohne Reihenfolge Bei den Permutationen und k-Permutationen haben wir bisher immer die Reihenfolge berücksichtigt. Das mussten wir fast, denn wenn wir Permutationen sind per Definition “verschiedene Reihenfolgen”. Nehmen wir als Beispiel drei mathematische Objekte, die wir einfach \(A\), \(B\) und \(C\) nennen. Wenn es nicht mehr darauf ankommt, in welcher Reihenfolge sie stehen…
Es ist sehr schwer Voraussagen zu machen, vor allem über die Zukunft! Niels Bohr, dänischer Physiker(ein altes dänisches Sprichwort zitierend) Die Stochastik ist das Teilgebiet der Mathematik, welches Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik beinhaltet. Es geht in der Stochastik um Ergebnisse, die bei einer Wiederholung des Vorgangs nicht unbedingt wieder auf die gleiche Art eintreten. Das Ergebnis…
Wir können auf dem Computer das Würfeln sehr einfach simulieren und ihn eine Tabelle erstellen lassen. In dieser Tabelle zählen wir einfach die Anzahl, wie oft ein Ereignis $E_i$ eingetreten ist. Als Ereignisse nehmen wir die sog. Elementarereignisse, die jeweils nur ein Ergebnis beinhalten: \[ E_1=\big\{1\big\}, \; E_2=\big\{2\big\}, \; … \quad \rightarrow \quad E_i=\big\{i\big\} \]…
Wir nehmen wieder das gleiche Zufallsexperiment mit den gleichen Zahlen nach 20 Versuchen und nach 100 Versuchen. Dieses Mal legen wir nach jedem Wurf einen passenden “Ball” in das Fach der geworfenen Augenzahl. Damit entsteht eine Art Histogramm und die Höhe der Säule entspricht der absoluten Häufigkeit $H_n$ für das entsprechende Ereignis. Nach 20 Versuchen…
Für die Veranschaulichung dieses Begriffs schauen wir uns ein einfaches Beispiel an. Wir würfeln mit drei Würfeln gleichzeitig und ermitteln die Würfelsumme. Jede Würfelsumme, die wir kriegen heisst Ergebnis unseres Zufallsexperiment. Die Würfel können einzeln die Zahlen 1 bis 6 anzeigen, d.h. die niedrigste Summe ist 1+1+1=3 und die höchste Summe ist 6+6+6=18. Dazwischen ist…
Auf wie viele Arten können wir die drei Buchstaben $A$, $B$ und $C$ nacheinander aufschreiben? Wir können uns diese Möglichkeiten notieren und werden schnell herausfinden, dass es sechs Möglichkeiten sind, nämlich: \[ (A,B,C),\;\; (A,C,B),\;\; (B,A,C),\;\; (B,C,A),\;\; (C,A,B),\;\; (C,B,A) \] Wir können das aber auch etwas systematischer angehen mit dem sog. Baumdiagramm oder Ereignisbaum: Das Diagramm…
In der Stochastik ist das Urnenmodell ein beliebtest Anschauungsbeispiel. Es geht darum, dass wir uns eine imaginäre, mit Kugeln gefüllte Urne vorstellen. Das Konzept des Urnenmodells geht mindestens auf das antike Griechenland zurück. Im mathematischen Kontext, wie hier, geht das Urnenmodell auf den Schweizer Mathematiker und Physiker Jakob I Bernoulli (1655-1705) zurück, der das Urnenmodell…
Wir wissen, dass in einem Zufallsexperiment gewisse Ergebnisse möglich sind, andere nicht. Die möglichen Ergebnisse sind Elemente des Ergebnisraums $\Omega$, der Menge aller möglichen Ergebnisse $\omega_i$. Sehr oft sind wir an eine Wahrscheinlichkeit interessiert, für die mehrere Ergebnisse in Frage kommen. Beispielsweise interessiert uns die Wahrscheinlichkeit, mit einem Würfel eine gerade Zahl zu werfen. Die…
Mit den Ereignismengen lässt es sich rechnen! Die dazugehörige Algebra schauen wir uns hier an. Zum Anfang ein paar einfache Grundsätze, die aber nicht besonders nützlich sind. Schneiden wir die Ergebnismenge $A$ mit sich selbst, kriegen wir natürlich nichts Neues, denn $A$ geschnitten mit $A$ ist natürlich einfach $A$. Das Gleiche gilt auch für die…
Bei der Durchführung von Zufallsexperimenten erhalten wir natürlich nicht immer das gewünschte Ereignis $E$ – es ist eben Zufall. Gemäss dem Gesetz der grossen Zahlen folgen die vielen Resultate aber einer gewissen Logik. Wenn wir das Experiment immer öfters durchführen, gleicht sich die relative Häufigkeit $h_n(E)$ das Ereignis $E$ zu erhalten immer mehr einem bestimmten…
Bei mehrstufigen Zufallsexperimenten betrachten wir mehrere Experimente nach einander. Schauen wir uns ein erstes Beispiel an: Beispiel Ein Spieler trifft den Teil der Dartscheibe, der Punkte gibt, mit 80% Wahrscheinlichkeit. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass er dann den Kreissektor 20 trifft? Die Dartscheibe hat 20 gleich grosse Kreissektoren. Zur Vereinfachung nehmen wir an, dass…
Mit Laplace-Experimenten meinen wir Zufallsversuche, die die ganz bestimmte Eigenschaft besitzen, dass ihre Ergebnisse alle die gleiche Wahrscheinlichkeit haben. Das macht die Rechnung meist einfacher oder überhaupt erst möglich. In sehr vielen Fällen können wir ein Zufallsexperiment als Laplace-Experiment behandeln und entsprechend die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen Ergebnisse alle gleich setzen. Die Laplace-Experimente sind nach…
Unabhängige Ereignisse Die Unabhängigkeit von Ereignissen ist sehr wichtig in der Stochastik. Achtung! Nicht zu verwechseln mit der Unvereinbarkeit. Ereignisse sind für uns unabhängig, wenn die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten des einen Ereignisses nicht vom Eintreten des anderen Ereignisses abhängt. Die beiden Ereignisse “es regnet” und “ich werde nass” sind offensichtlich abhängig von einander. Ich…
Wenn es unabhängige Ereignisse gibt, gibt es natürlich auch solche, die abhängig sind. Wir schauen uns das an einem Beispiel an. In einer Klasse mit 24 Schülerinnen und Schülern (14 Schülerinnen und 10 Schülern) hat es insgesamt 4 Brillenträger: 3 Schüler tragen eine Brille und 1 Schülerin. Wir fragen uns, wie gross ist die Wahrscheinlichkeit,…
Das Wichtigste in Kürze Permutationen sind ein wichtiges Konzept der Kombinatorik. Sie sind die Vertauschungen der Reihenfolge aller Objekte, z.B. Buchstaben in einem Wort. Die Anzahl möglicher Permutationen von $n$ verschiedenen Objekten ist: \[ ^nP = n! \] Dabei ist $n!$ die Fakultät $n$, definiert als: \[ n! = n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot…
Das Wichtigste in Kürze Die k-Permutationen bilden eine der zwei Säulen der Konzepte in der Kombinatorik wenn die Reihenfolge wichtig ist. Bei Wegfall der Reihenfolge würden wir stattdessen die Kombinationen verwenden. Kombinationen geben uns die Anzahl Möglichkeiten von $k$ Objekten aus einer Grundmenge von $n$ Objekten, mit Zurücklegen der Objekte nach jedem Zug: \[ \overline{^nP_k}…
Das Wichtigste in Kürze Der Binomialkoeffizient “n tief k” wird berechnet aus den Fakultäten gemäss folgender Definition: \[ \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} = \frac{n!}{(n-k)! \; k!} \] Es gibt verschiedene Anwendungen des Binomialkoeffizienten in der Mathematik. Die Wichtigste findet sich wohl in der Kombinatorik, wo der Binomialkoeffizient der Anzahl Kombinationen von $k$ Objekten aus…
Das Wichtigste in Kürze In der Kombinatorik gibt es vier mögliche Aufgabentypen: Ist die Reihenfolge wichtig, benutzen wir die k-Permutationen (Variationen): \[ ^nP_k = \frac{n!}{(n-k)!} \qquad \qquad \overline{^nP_k}=n^k \] Ein Spezialfall der k-Permutationen sind die Permutationen. Der Unterschied liegt darin, dass bei Permutationen alle Objekte permutiert werden, d.h. $k=n$, während bei k-Permutationen nur eine kleinere…
Zufallsgrösse Wenn wir die Summe der Augenzahlen von zwei Würfeln bilden, entsteht für jeden Wurf eine Zahl von 2 bis 12. Diese Zahlen können auf unterschiedlichste Art entstehen, z.B. kann die Summe 4 entstehen durch 1+3, durch 2+2 oder auch durch 3+1, wenn die Reihenfolge berücksichtigt wird. Wenn wir uns an die Definition einer Funktion…
Mit den Lage- und Streuungsmassen werden Wahrscheinlichkeitsverteilungen beurteilt und beschrieben. Wahrscheinlichkeitsverteilungen haben meistens eine Wert $x$ der Zufallsgrösse, der besonders wahrscheinlich ist. Die Frage darüber, wo sich dieser Wert auf der $x$-Achse befindet, beantworten die Lagemasse. Modus (Modalwert) Wir schauen uns ein erstes Beispiel an. Es ist ein Histogramm mit der Notenverteilung zweier Schüler. Alice…
Die Streuungsmasse beschreiben, wie stark mit anderen $x$-Werten als z.B. dem Erwartungswert gerechnet werden muss. Bei starker Streuung, sind viele verschiedene $x$-Werte wahrscheinlich. Bei schwacher Streuung sind grössere Abweichungen vom Erwartungswert eher unwahrscheinlich. In der obigen Abbildung sind zwei Wahrscheinlichkeitsverteilungen gezeigt, die beide den gleichen Erwartungswert $\mu$ haben. Die Verteilung $P_1(x)$ ist schlanker und höher,…
Bernoulli-Experimente Jakob I Bernoulli (1655 – 1705) war ein Schweizer Mathematiker und Physiker, der sich intensiv mit Zufallsexperimenten beschäftigte und wichtige Grundlagen der Stochastik begründete. Er untersuchte Zufallsexperimente, die nur zwei mögliche Ergebnisse haben, wie z.B. der Wurf einer Münze, der nur “Kopf” oder “Zahl” liefern kann. Hier ein paar Beispiele für solche Experimente, die…
Bei der Diskussion des Urnenmodells mit Zurücklegen hatten wir bereits eine Wahrscheinlichkeitsformel kennengelernt, die hier zur sog. hypergeometrischen Wahrscheinlichkeitsverteilung führt. Wir können sie eigentlich ganz gleich verstehen, wie die Binomialverteilung, jedoch mit dem Unterschied, dass sich die Wahrscheinlichkeit von Zug zu Zug ändert, weil die gezogene Kugel nicht mehr zurückgelegt wird. Die hypergeometrische Verteilung entsteht…
Hier kommen wir wirklich in der Welt der Statistik an. Bisher haben wir mit gegebenen Verteilungen gearbeitet oder haben diese Verteilungen aufgrund einer gegebenen Wahrscheinlichkeit bestimmt. Dann haben wir die Wahrscheinlichkeitsverteilung mit ihrem Erwartungswert oder ihrer Standardabweichung beschrieben. Deshalb nennt sich dieser Teil der Statistik auch beschreibende Statistik. Nun kehren wir die Sache um. Wir…
Bei der Bestimmung des Vorhersageintervalls haben wir mit der Näherungsformel ein Werkzeug, um die linke und rechte Grenze zu bestimmen. Damals mussten wir die reellen Werte der berechneten Grenzen runden, um das Intervall in der diskreten Verteilung festzulegen. Wenn wir sehr grosse Stichproben haben ($n$ sehr gross), dann hat die Wahrscheinlichkeitsverteilung sehr viele Säulen, die…
Das Wichtigste in Kürze Video (zu diesem Thema gibt es noch kein Video) In diesem Video wird die Theorie erklärt und mit Beispielen illustriert. Um das Video anzusehen, musst du eingeloggt sein. Um das Video anzusehen, brauchst du mehr Eulen. Eulen nachkaufen ???? (-3 ????) Andrei Kolmogorow (1903 – 1987) war ein sowjetischer Mathematiker und…
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