Nullstellen

Nullstellen Unter Nullstellen verstehen wir die Schnittpunkte des Funktionsgraphen mit der \(x\)-Achse. Die \(x\)-Achse zeichnet sich dadurch aus, dass die \(y\)-Werte null sind, d.h. unsere Funktion kreuzt die \(x\)-Achse, wenn der Funktionswert null ist. Wir erhalten die Nullstellen, indem wir die Funktionsgleichung auf null setzen. Beachte, dass grundsätzlich mehr als eine Nullstelle möglich ist, d.h….

Umkehrfunktionen

Das Wichtigste in Kürze Wenn eine Funktion aus einem Argument $x$ den Funktionswert $y=f(x)$ produziert, dann mach die Umkehrfunktion $f^{-1}$ genau das Umgekehrte: Sie macht aus dem $y$ wieder ein $x$: \[ f: \quad x \mapsto y=f(x) \qquad \qquad f^{-1}: \quad y \mapsto x=f^{-1}(y) \] Weil die Umkehrfunktion die umgekehrte Wirkung einer Funktion hat, ist…

Funktionen

Ich habe mir als Schüler damals die Funktionen wie einen Getränkeautomaten vorgestellt. Ich werfe eine Münze ein und der Automat gibt eine Cola-Flasche heraus. Werfe ich z.B. eine kleinere Münze ein, so kriege ich “nur” ein Wasser. Die Analogie stimmt aber nur dann, wenn wir einen etwas vereinfachten Automaten haben, der aufgrund der nur aufgrund…

Funktionsgleichungen

Wir werden jetzt die etwas umständliche Schreibweise für Funktionen vereinfachen und uns darauf konzentrieren, was die Funktion mit dem Input macht. Statt… \[ f\colon \boldsymbol{D} \rightarrow \boldsymbol{W},\;x \mapsto y \] …schreiben wir jetzt eine Funktionsgleichung: \[ f\colon \; x \; \mapsto \; y=f(x) \] oder einfach \[ y=f(x) \] Funktionsgleichungen werden oft abgekürzt geschrieben: \[…

Monotonie

Eine Funktion ist monoton steigend, wenn sie immer zunimmt oder mindestens gleich bleibt, aber nie abnimmt. Analog gilt eine Funktion als monoton fallend, wenn sie immer nur gleich bleibt oder abnimmt, aber nie zunimmt. Unter streng monoton steigend oder fallend, verstehen wir immer steigend oder fallend und schliessen damit den Fall aus, in welchem die…

Stetigkeit

Funktionsgraphen, die durch kontinuierliche Punktscharen \textit{ohne} Unterbruch beschrieben werden, heissen stetig. Die Stetigkeit kann an bestimmten Punkten, den sog. Unstetigkeitsstellen, unterbrochen sein: Beispiel Finde die Unstetigkeitsstellen der folgenden Funktion. Um welche Art von Unstetigkeitsstellen handelt es sich? \[ f(x) = \frac{x^2-1}{x^2-2x-24} \] Wir erhalten die Unstetigkeitsstelle, indem wir das Nennerpolynom null stellen: \[ x^2-2x-24 \;…

Funktionen verschieben

Verschiebung in vertikaler Richtung Wir können den Funktionsverlauf im Koordinatensystem sehr einfach nach oben oder unten verschieben. Es reicht den Verschiebungsbetrag zum Funktionswert $y=f(x)$ zu addieren und schon verschieben sich alle Punkte nach oben. Deshalb wird für eine Verschiebung nach oben, einfach der Betrag $d$, um welchen die Funktion nach oben verschoben werden soll, hinzuaddiert,…

Funktionen strecken und stauchen

Funktionen vertikal strecken und stauchen Wenn wir jeden Funktionswert mit einem Faktor $k$ multiplizieren, dann wird der Verlauf der Funktion von der $x$-Achse her nach oben gestreckt. Sie wird aber auch unterhalb der $x$-Achse nach unten gestreckt, denn die negativen Funktionswerte werden mit den Streckfaktor multipliziert und sind dann noch negativer. Streckung des Funktionsverlaufs in…

Lineare Funktionen

Lineare Funktionen gehören zwar zu den einfacheren Funktionen. Sie sind aber vermutlich die meist verbreiteten Funktionen überhaupt. Wie der Name sagt, bilden lineare Funktionen Verläufe von geraden Linien. Alle anderen Funktionen werden einfach mit nicht linear bezeichnet, womit ein meist unbekannter, ”gekrümmter” Verlauf gemeint ist. Lineare Grundfunktion Das typische Merkmal der linearen Grundfunktion ist die…

Hyperbel

Hyperbel

Hyperbeln mit ungeraden Exponenten Für ungerade Exponenten $n$ kriegen wir Verläufe, die zwar unterschiedlich aussehen, sonst aber viel gemeinsam haben. Nachfolgend sind ihre Eigenschaften aufgelistet: Beispiel: Unbekannter Exponent Die Funktion $f$ hat als Verlauf eine Hyperbel. Finde den Exponenten $n$, wenn die Funktion durch den Punkt $P$ verläuft. \[ P(3,\frac{1}{243}) \] Hyperbeln mit geraden Exponenten…

Wurzelfunktionen

Potenzen mit einem positiven Exponenten, jedoch kleiner als eins, führen zu den Wurzelfunktionen. Wir betrachten hier nur die Wurzelfunktionen mit ganzzahligen Exponenten $n$. Unter einer Wurzelfunktion $n$-ter Ordnung verstehen wir eine Wurzel mit einem ganzzahligen, positiven Exponenten $n$: \[ f(x) = \sqrt[n]{x} = x^{\frac{1}{n}} \] Für den Exponenten $n$ gilt: $n \in \mathbb{N}$ und $n…

Definitions- und Wertebereich

Die Zahlenmenge der Werte, die die Funktion aufnehmen kann, nennen wir Definitionsbereich $\boldsymbol{D}$ und die Menge der Zahlen, die die Funktion ausgibt, den Wertebereich $\boldsymbol{W}$. In unserer Analogie umfasst $\boldsymbol{D}$ alle Arten von Münzen, die der Automat akzeptiert und $\boldsymbol{W}$ enthält alle Produkte des Automaten. Eine Funktion ist eine eindeutige Zuweisung von einem Element $x$…

Achsabschnitt

Nullstellen und Achsabschnitt sind die Schnittpunkte des Funktionsgraphen mit der x-Achse (Nullstellen) und mit der y-Achse (Achsabschnitt). Wir schauen uns zuerst den Achsabschnitt an. Er ist der Schnittpunkt des Funktionsgraphen mit der $y$-Achse. Die $y$-Achse zeichnet sich dadurch aus, dass die $x$-Werte null sind. Wir erhalten deshalb den Achsabschnitt indem wir für $x=0$ einsetzen. Der…