Integrale

Die Integralrechnung befasst sich am Anfang v.a. mit der Berechnung der Fläche unterhalb eines Funktionsgraphen. Die Möglichkeiten, die sich mit der Integralrechnung eröffnen sind aber viel, viel weitgehender als nur Flächenberechnungen. Sie sind sehr vielseitig einsetzbar und von grosser Bedeutung, v.a. in den Natur- und Ingenieurwissenschaften. Wir fangen aber mit der Frage an, wie wir…

Flächenberechnung

Mit dem unbestimmten Integral ermitteln wir die Stammfunktion. Mit dem bestimmten Integral berechnen wir die Fläche zwischen den Funktionswerten und der $x$-Achse. Wie Flächen aus bestimmten Integralen berechnet werden, schauen wir uns an einem Beispiel an. Gesucht ist die Fläche $A$ aus dem folgenden Integral: \[ A = \int_{-3}^{2} x^2+2x-3\,dx \] Die Funktion $f(x)=x^2+2x-3$ integrieren…

Faktorregel der Integralrechnung

Schon bei der Besprechung der Differentialrechnung haben wir eine Faktorregel der Differentialrechnung angetroffen. Das ist natürlich kein Zufall, denn wenn die Integration die Umkehrung der Differentiation ist, dann ist die Summen- und Faktorregel hier mit derjenigen der Differentialrechnung verwandt. Die Faktorregel ist sehr leicht zu erkennen, am besten am Beispiel einer einfachen Summe: \[ \sum_i{C…

Integrationsgrenzen

Vertauschungsregel Wenn wir von rechts nach links, statt von links nach rechts integrieren, arbeiten wir mit $(-dx)$ statt mit $dx$. Deshalb ändert sich das Vorzeichen des Integrals: \[ \int_a^b  f(x) \; dx = – \int_b^a f(x) \; dx \] Wir schauen uns das an einem Beispiel an: \[ \int_1^2 \frac{1}{x} \; dx = \big[ \ln(x)…

Uneigentliche Integrale

Du kennst vielleicht die unbestimmten Integrale. Wenn wir sie lösen, erhalten wir die Stammfunktion plus eine Konstante. Im Gegensatz zu den bestimmten Integralen haben unbestimmte Integrale keine Grenzen angegeben. Uneigentliche Integrale haben zwar Grenzen, jedoch ist mindestens eine davon $\infty$ oder $-\infty$. Integrale können beide Grenzen uneigentlich sein und dabei von $-\infty$ bis $\infty$ laufen….