Nullstellen

Nullstellen Unter Nullstellen verstehen wir die Schnittpunkte des Funktionsgraphen mit der -Achse. Die -Achse zeichnet sich dadurch aus, dass die -Werte null sind, d.h. unsere Funktion kreuzt die -Achse, wenn der Funktionswert null ist. Wir erhalten die Nullstellen, indem wir die Funktionsgleichung auf null setzen. Beachte, dass grundsätzlich mehr als eine Nullstelle möglich ist, d.h….

Kombinationen

Das Wichtigste in Kürze Kombinationen sind in der Kombinatorik die Anzahl Möglichkeiten, Objekte aus einer Grundmenge auszuwählen. Die Kombinationen sind wie k-Permutationen (Variationen), jedoch ohne Berücksichtigung der Reihenfolge. Die Anzahl Kombinationen ohne Zurücklegen, d.h. ohne Wiederholung der Objekte, beträgt:     Dabei haben wir für die zweite Schreibweise (rechts) den Binomialkoeffizienten verwendet. Wenn sich die…

Integrationsmethoden

Integrationsmethoden

Das Wichtigste in Kürze Integrationsmethoden: Hack Video (zu diesem Thema gibt es noch kein Video) In diesem Video wird die Theorie erklärt und mit Beispielen illustriert. Um das Video anzusehen, musst du einloggenNoch kein Login? Hier registrieren Um das Video anzusehen,musst du vollwertiges Mitglied im Hacker-Club sein. Häufigste Fragen Beispiel: TITEL Titel Contrary to popular…

Quader

Beispiel: TITEL Aufgabensammlung Gummiball (0006) 5 Teilaufgaben mit Lösungen (pdf/Video): Um auf die Übung zugreifen zu können, musst du einloggenNoch kein Login? Hier registrieren Um auf die Übung zugreifen zu können,musst du vollwertiges Mitglied im Hacker-Club sein. zum Aufgabenblatt und Lösungen

Euler’scher Polyedersatz

Euler’scher Polyedersatz

Eulers Polyedersatz geht auf den Schweizer Mathematiker und Physiker Leonhard Euler (1707 – 1783) zurück. Er gilt für jeden konvexen Polyeder, d.h. für jeden dreidimensionalen Körper, der aus vielen Flächen besteht, die durch nach aussen gerichtete Kanten getrennt sind. Der Polyedersatz besagt:     Dabei sind: Der Euler’sche Polyedersatz gilt für allgemeine, unregelmässige Polyeder. Natürlich…

Umkehrfunktionen

Das Wichtigste in Kürze Wenn eine Funktion aus einem Argument den Funktionswert produziert, dann mach die Umkehrfunktion genau das Umgekehrte: Sie macht aus dem wieder ein :     Weil die Umkehrfunktion die umgekehrte Wirkung einer Funktion hat, ist heben sich Funktion und Umkehrfunktion gegenseitig auf:         Ableitung Umkehrfunktion Wenn die Umkehrfunktion…

Exponentielle Abklingfunktion

Exponentielle Abklingfunktion

Das Wichtigste in Kürze Die exponentielle Abklingfunktion (auch ‘beschränktes Wachstum nach unten’ genannt) hat die folgende Funktionsgleichung:     Sie wird durch drei Parameter definiert: Mit der Abklingfunktion ist ein exponentieller Zerfall gemeint, der sich einem Grenzwert nähert. Solche Verläufe über die Zeit sind in den Naturwissenschaften und in der Technik sehr verbreitet. Die Abklingfunktion…

Binomische Formeln

Wir nehmen ein möglichst allgemeines Binom, das aus den zwei Summanden und besteht. Wir werden v.a. die Kombinationen der Binome und uns näher anschauen. Die Multiplikation von mit sich selbst ergibt:             Zuerst multiplizieren wir das linke mit dem rechten , dann wieder das linke mit dem rechten , dann…

Dreieck

Beschreibung Das Dreieck ist die einfachste Figur von geraden Linien in der Ebene. Dreiecke sind gerade deshalb so wichtig, weil wir sehr viele andere Figuren mit Hilfe von Dreiecken beschreiben können. Ein Viereck ist ja nichts anderes als zwei zusammengesetzte Dreiecke. Ein Fünfeck besteht als zwei Dreiecken usw. Ein ganz allgemeines Dreieck besteht als folgenden…

Integrale

Die Integralrechnung befasst sich am Anfang v.a. mit der Berechnung der Fläche unterhalb eines Funktionsgraphen. Die Möglichkeiten, die sich mit der Integralrechnung eröffnen sind aber viel, viel weitgehender als nur Flächenberechnungen. Sie sind sehr vielseitig einsetzbar und von grosser Bedeutung, v.a. in den Natur- und Ingenieurwissenschaften. Wir fangen aber mit der Frage an, wie wir…

Flächenberechnung

Mit dem unbestimmten Integral ermitteln wir die Stammfunktion. Mit dem bestimmten Integral berechnen wir die Fläche zwischen den Funktionswerten und der -Achse. Wie Flächen aus bestimmten Integralen berechnet werden, schauen wir uns an einem Beispiel an. Gesucht ist die Fläche aus dem folgenden Integral:     Die Funktion integrieren wir zuerst in einem unbestimmten Integral,…

Faktorregel der Integralrechnung

Schon bei der Besprechung der Differentialrechnung haben wir eine Faktorregel der Differentialrechnung angetroffen. Das ist natürlich kein Zufall, denn wenn die Integration die Umkehrung der Differentiation ist, dann ist die Summen- und Faktorregel hier mit derjenigen der Differentialrechnung verwandt. Die Faktorregel ist sehr leicht zu erkennen, am besten am Beispiel einer einfachen Summe:    …

Integrationsgrenzen

Vertauschungsregel Wenn wir von rechts nach links, statt von links nach rechts integrieren, arbeiten wir mit statt mit . Deshalb ändert sich das Vorzeichen des Integrals:     Wir schauen uns das an einem Beispiel an:     Jetzt vertauschen wir die beiden Integrationsgrenzen und rechnen nochmals alles durch:     Das Vorzeichen hat tatsächlich…