Brüche

Das Wichtigste in Kürze Der Bruch ist eine Darstellung einer Division der Zahl $a$ durch die Zahl $b$ mit einem Bruchstrich: \[ \frac{a}{b} = a \cdot \Big( \frac{a}{b} \big) \] Die Zahl $a$ über dem Strich heisst Zähler, weil sie die Anzahl angibt. Die Zahl $b$ unter dem Strich heisst Nenner, weil sie die Natur…

Erweitern Im folgenden Beispiel erhalten wir gleichwertige Brüche, indem wir von links nach rechts den Zähler und den Nenner mit zwei multiplizieren. \[ \frac{1}{3} = \frac{2}{6} = \frac{4}{12} = \frac{8}{24} \] Dahinter stehen Erweiterungen, die den Wert des Bruchs nicht verändern. \[ \frac{1}{3} = \frac{1 \cdot \mathbf{2}}{3 \cdot \mathbf{2}} =  \frac{1 \cdot \mathbf{4}}{3 \cdot \mathbf{4}}…

Multiplikation von Polynomen Wir schauen uns zuerst den Fall von Binomen an, d.h. Polynomen, die aus zwei Summanden bestehen. Wenn du zwei solche Binome miteinander multiplizierst, musst du folgendermassen vorgehen: Du nimmst zuerst den ersten Term im linken Binom und multiplizierst diesen mit den Termen des rechten Binoms nacheinander. Jedes Mal wird das Resultat der…

Im vorigen Kapitel haben wir gesehen, wie wir die Faktoren herausfinden können, aus denen Polynome zusammengesetzt sind. Wir werden jetzt sehen, dass wir Polynome auch einfach dividieren können. Wenn wir eine Zahl durch eine andere Zahl (Divisor) teilen und die Division geht ohne Rest auf, so haben wir mit dem Divisor einen Teiler der Zahl…

Als Bruchgleichung wird eine Gleichung verstanden, die Bruchterme beinhaltet. Bruchterme sind Brüche mit einer Unbekannten im Nenner. Die Bruchterme können auf einer oder auf beiden Seiten der Gleichung stehen. Nachfolgend zwei Beispiele von Bruchgleichungen mit der Unbekannten $x$: \[ \frac{1}{x} = 3 \] \[ \frac{x+2}{x-1} = \frac{3}{x+2} \] Definitionsmenge Bei einer Gleichung suchen wir für…

Primteiler von Zahlen Ich habe mir das immer ein bisschen so vorgestellt: Zahlen bestehen aus Primteilern, wie Moleküle aus Atomen bestehen. Die Primteiler sind die Bausteine der Zahl. Sie selber sind nicht weiter teilbar. Wenn eine Zahl aus nur einem einzigen Primteiler besteht, d.h. selber nicht weiter teilbar ist (wie z.B. Edelgase, die aus Atomen…

Um das kgV von zwei Zahlen zu verstehen, müssen wir zuerst den grössten gemeinsamen Teiler (ggT) verstanden haben. Wir nehmen nochmals das Beispiel, das wir beim ggT hatten: Die beiden Zahlen 30 und 12 sind verwandt, weil sie die beiden Teiler 2 und 3 gemeinsam haben. \[ 30 \;\; = \;\; \underline{\;2\;} \cdot \underline{\;3\;} \cdot…