Vektorgeometrie (analytische Geometrie)

Eine Abbildung von einem Punkt \(A\) auf einen Punkt \(A’\) wird durch einen Vektor beschrieben. Die Änderung der \(x\)-Koordinate (\(v_x = \Delta x\)) steht in der Klammer oben, unten steht die Änderung der \(y\)-Koordinate (\(v_y = \Delta y\)): \[ \overrightarrow{AA’} = \begin{pmatrix} A’_x – A_x \\ A’_y – A_y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} v_x  v_y \end{pmatrix} =…

Wir schauen uns ein Beispiel an und addieren die beiden Vektoren \(\vec{a} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}\) und \(\vec{b} = \begin{pmatrix} -3 \\ 1 \end{pmatrix}\). Wir addieren dabei die Koeffizienten der gleichen Dimension und erhalten so einen neuen Vektor: \[ \vec{a} + \vec{b} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -3 \\ 1…

Wenn wir z.B. den Vektor \(\vec{b}\) vom Vektor \(\vec{a}\) subtrahieren müssen, benutzen wir den Gegenvektor von \(\vec{b}\). So können wir jederzeit aus einer Subtraktion wieder eine Addition von zwei Vektoren machen, die wir ja kennen. Für die Subtraktion von zwei Vektoren \(\vec{a}-\vec{b}\) brauchen wir den Gegenvektor von \(\vec{b}\): \((-\vec{b})\) Wir addieren \(\vec{a}\) mit dem Gegenvektor…

Nehmen wir einen Vektor und addieren ihn dreimal, so entsteht das Dreifache des Vektors: \[ \vec{a}+\vec{a}+\vec{a} = 3 \cdot \vec{a} \] Die Richtung des Vektors \(\vec{a}\) wird beibehalten. Die Länge wird verdreifacht. \[ \vec{a}+\vec{a}+\vec{a} = \begin{pmatrix}a_x \\ a_y \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}a_x \\ a_y \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}a_x \\ a_y \end{pmatrix} \] \[ = \begin{pmatrix}a_x+a_x+a_x \\ a_y+a_y+a_y…

Parameterform Wir werden uns jetzt anschauen, wie eine Gerade mit Hilfe der Vektorgeometrie beschrieben werden kann. Die Vektorgeometrie ist hier besonders stark, weil sie leicht von der zweidimensionalen Welt in die dreidimensionale Welt erweitert werden kann, d.h. wir werden hier lernen Geraden im Raum zu beschreiben. Als Erstes sollten wir uns daran erinnern, was eine…

Punkt auf der Geraden Liegt ein Punkt auf einer Geraden oder nicht? Nun, das können wir relativ einfach beantworten. Eine Geradengleichung hat ja die folgende Struktur: “Ein Punkt \(A\) auf der Geraden plus ein Vielfaches (\(\lambda\)) eines Vektors (\(\overrightarrow{AB}\)), der die Richtung der Geraden vorgibt, ergibt einen weiteren Punkt \(P\) auf dieser Geraden. Je nach…

Zwei Geraden \(g_1\) und \(g_2\) im Raum können in unterschiedlicher Weise zueinander stehen. Die folgende Abbildung zeigt die drei möglichen Fälle: Drei mögliche Kombinationen zweier unterschiedlicher Geraden: Zwei sich kreuzende Geraden Die Geraden haben ihre Geradengleichung. Der gemeinsame Schnittpunkt \(P\) hat die Koordinaten \((P_x,P_y,P_z)\), die sowohl durch die Gleichung der Geraden \(g_1\), wie auch durch…

Punkte als Elemente Ausschnitt aus dem Kurs ‘Räumliche Vektorgeometrie 1’ Ein Punkt ist durch seine Koordinaten exakt definiert. Die Koordinaten gehören zum Punkt und bilden somit eine Einheit, die in der Mathematik Tupel genannt wird. Ein Tupel ist eine Liste von Zahlen, die zusammengehören. Die Reihenfolge spielt dabei eine wichtige Rolle. Wir können ja die…

Parameterform Bei der Besprechung der Linearkombination haben wir festgestellt, dass ein Vektor mit durch eine Linearkombination von zwei Vektoren ausgedrückt werden kann. Wir hatten das folgende Beispiel gesehen: \[ \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix} \;\; = \;\; 3 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} + 2 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \] \[ =…

Punkt auf der Ebene Mit der folgenden Ebenengleichung erreichen wir alle Punkte \(Q\) auf der Ebene \(E\). Dazu haben wir zwei “Stellschrauben”, die beiden Parameter \(\lambda_1\) und \(\lambda_2\), die sämtliche Werte annehmen können: \[ \overrightarrow{OQ} \;\; = \;\; \overrightarrow{OA} \; + \; \lambda_1 \cdot \vec{a_1} \; + \; \lambda_2 \cdot \vec{a_2}\] Jetzt möchten wir aber…

Eine Gerade \(g\) wird im allgemeinen Fall die Ebene \(E\) durchstossen und somit einen gemeinsamen Punkt \(P\) haben. Diesen Punkt erhalten wir, indem wir die Ebenengleichung und die Geradengleichung gleichsetzen. Wir verlangen, dass die Ebenengleichung, die alle Ortsvektoren zu den Punkten \(P \in E\) gibt… \[ E \colon \quad \overrightarrow{OP} \; = \; \overrightarrow{OA} +…

Zwei Ebenen werden sich im Normalfall in einer Geraden schneiden. Sie können aber auch parallel sein oder sogar identisch, d.h. aufeinander liegen. Wenn zwei Ebenen parallel sind, reicht es aus, den Abstand eines Punkt auf der einen Ebene mit der zweiten Ebene zu berechnen. Damit erhalten wir automatischen den Abstand der beiden Ebenen. Für den…

Die nach dem deutschen Mathematiker Otto Hesse (1811-1874) benannte Hessesche Normalform ist eine Normalform mit normiertem Normalvektor: Die Hessesche Normalform ist gleich wie die Normalform, jedoch mit einem normierten Normalvektor \(\vec{n}_0\): \[ \vec{n}_0 \cdot \Big( \overrightarrow{OP} – \overrightarrow{OA} \Big) = 0 \] Den normierten Normalvektor \(\vec{n}_0\) erhalten wir wie folgt: \[ \vec{n}_0 = \frac{\vec{n}}{|\vec{n}|} \quad…