Vektorgeometrie (analytische Geometrie)

Definitionen Eine Abbildung von einem Punkt auf einen Punkt wird durch einen Vektor beschrieben. Die Änderung der -Koordinate () steht in der Klammer oben, unten steht die Änderung der -Koordinate ():     Vektoren haben eine Richtung und eine Länge. Die Länge wird durch die sog. Norm ausgedrückt und mit dem Satz von Pythagoras berechnet:…

Wir schauen uns ein Beispiel an und addieren die beiden Vektoren und . Wir addieren dabei die Koeffizienten der gleichen Dimension und erhalten so einen neuen Vektor:         Es wird sofort klar, dass wir auch in der anderen Reihenfolge addieren können und dabei das gleiche Resultat erhalten:         Nun…

Wenn wir z.B. den Vektor vom Vektor subtrahieren müssen, benutzen wir den Gegenvektor von . So können wir jederzeit aus einer Subtraktion wieder eine Addition von zwei Vektoren machen, die wir ja kennen. Für die Subtraktion von zwei Vektoren brauchen wir den Gegenvektor von : Wir addieren mit dem Gegenvektor von :     Beispiel…

Nehmen wir einen Vektor und addieren ihn dreimal, so entsteht das Dreifache des Vektors:     Die Richtung des Vektors wird beibehalten. Die Länge wird verdreifacht.             Wir können das jetzt auch verallgemeinern mit dem Faktor :     Wird ein Vektor mit einer Zahl (Skalar) multipliziert, so multipliziert sich…

Zwei Vektoren heissen kollinear, wenn sie zu einander parallel sind. Sie haben die gleiche Richtung oder sind exakt entgegengesetzt. Wir können die Vektoren in eine gemeinsame Gerade verschieben. In der obigen Figur sind vier Vektoren gezeichnet, deren Start- und Endpunkte sich auf den Würfelflächen befinden. Die Vektoren und haben die gleiche Richtung. Sie sind zwar…

Die drei Vektoren , und heissen komplanar, wenn wir die drei Vektoren in eine gemeinsame Ebene verschieben können. Warum reden wir hier von drei Vektoren? Ganz einfach: Zwei Vektoren sind immer komplanar. Wir könnten deshalb keine Bedingung aufstellen. Bei drei Vektoren ist das anders. Zwei Vektoren spannen eine gemeinsame Ebene auf. Es ist aber nicht…

Wir betrachten zuerst den Punkt . Er liegt auf der -Achse. Wie kommen wir vom Ursprung zu diesem Punkt mit dem Einheitsvektor ?         Wir benutzen den dreifachen Einheitsvektor und sind dann am Ziel. Jetzt wiederholen wir das Prozedere und überlegen uns, wie wir mit dem Einheitsvektor vom Ursprung zum Punkt gelangen….

Parameterform Wir werden uns jetzt anschauen, wie eine Gerade mit Hilfe der Vektorgeometrie beschrieben werden kann. Die Vektorgeometrie ist hier besonders stark, weil sie leicht von der zweidimensionalen Welt in die dreidimensionale Welt erweitert werden kann, d.h. wir werden hier lernen Geraden im Raum zu beschreiben. Als Erstes sollten wir uns daran erinnern, was eine…

Punkt auf der Geraden Liegt ein Punkt auf einer Geraden oder nicht? Nun, das können wir relativ einfach beantworten. Eine Geradengleichung hat ja die folgende Struktur: “Ein Punkt auf der Geraden plus ein Vielfaches () eines Vektors (), der die Richtung der Geraden vorgibt, ergibt einen weiteren Punkt auf dieser Geraden. Je nach Faktor erhalten…

Zwei Geraden und im Raum können in unterschiedlicher Weise zueinander stehen. Die folgende Abbildung zeigt die drei möglichen Fälle: Drei mögliche Kombinationen zweier unterschiedlicher Geraden: Zwei sich kreuzende Geraden Die Geraden haben ihre Geradengleichung. Der gemeinsame Schnittpunkt hat die Koordinaten , die sowohl durch die Gleichung der Geraden , wie auch durch die Gleichung von…

Punkte als Elemente Ausschnitt aus dem Kurs ‘Räumliche Vektorgeometrie 1’ Ein Punkt ist durch seine Koordinaten exakt definiert. Die Koordinaten gehören zum Punkt und bilden somit eine Einheit, die in der Mathematik Tupel genannt wird. Ein Tupel ist eine Liste von Zahlen, die zusammengehören. Die Reihenfolge spielt dabei eine wichtige Rolle. Wir können ja die…

Parameterform Bei der Besprechung der Linearkombination haben wir festgestellt, dass ein Vektor mit durch eine Linearkombination von zwei Vektoren ausgedrückt werden kann. Wir hatten das folgende Beispiel gesehen:         Wir sehen dann, dass wir eigentlich jeden Punkt auf diese Art erreichen können:         Wir können mit einer Linearkombination der…

Punkt auf der Ebene Mit der folgenden Ebenengleichung erreichen wir alle Punkte auf der Ebene . Dazu haben wir zwei “Stellschrauben”, die beiden Parameter und , die sämtliche Werte annehmen können:     Jetzt möchten wir aber wissen, ob ein ganz bestimmter Punkt auf der Ebene ist, oder nicht. Wir nehmen seinen Ortsvektor und setzen…

Eine Gerade wird im allgemeinen Fall die Ebene durchstossen und somit einen gemeinsamen Punkt haben. Diesen Punkt erhalten wir, indem wir die Ebenengleichung und die Geradengleichung gleichsetzen. Wir verlangen, dass die Ebenengleichung, die alle Ortsvektoren zu den Punkten gibt…     …die gleichen Koordinaten des gleichen Punkts liefert, wie die Geradengleichung von , die uns…

Zwei Ebenen werden sich im Normalfall in einer Geraden schneiden. Sie können aber auch parallel sein oder sogar identisch, d.h. aufeinander liegen. Wenn zwei Ebenen parallel sind, reicht es aus, den Abstand eines Punkt auf der einen Ebene mit der zweiten Ebene zu berechnen. Damit erhalten wir automatischen den Abstand der beiden Ebenen. Für den…

Die nach dem deutschen Mathematiker Otto Hesse (1811-1874) benannte Hessesche Normalform ist eine Normalform mit normiertem Normalvektor: Die Hessesche Normalform ist gleich wie die Normalform, jedoch mit einem normierten Normalvektor :     Den normierten Normalvektor erhalten wir wie folgt:     Unter “normiert” verstehen wir “auf die Länge eins gebracht, d.h. als Einheitsvektor. Für…