Trigonometrische Funktionen und Gleichungen

Wir spielen jetzt mit dem Winkel \(\alpha\) und lassen ihn bei null starten, erhöhen ihn immer mehr bis 90°, 180°, 270°, bis schliesslich 360°. Grössere Winkel brauchen wir uns nicht anzuschauen, denn von da an wiederholt sich die Sache nur, beispielsweise sollten wir für \(\sin(450°)\) gleich viel kriegen, wie für \(\sin(360°+90°)=\sin(90°)\). Wir stellen eine kleine…

Wir betrachten jetzt die Kosinus-Funktion und machen auch wieder eine kleine Wertetabelle, indem wir uns die \(x\)-Koordinate des Punkts auf dem Einheitskreis vorstellen: \(\alpha\) 0° 30° 45° 60° 90° 180° 270° 360° \(x=\cos(\alpha)\) 1 \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) \(\frac{1}{\sqrt{2}}\)  \(\frac{1}{2}\) 0 -1 0 1 Der Wert der Kosinus-Funktion schwingt ebenfalls zwischen -1 und +1 hin und her –…

Tangens-Funktion Während Sinus und Kosinus sich sehr ähneln, ist der Tangens dann doch ziemlich anders. Wir gehen wieder gleich vor und überlegen uns den Tangens für verschiedene Winkel \(\alpha\), den wir im Einheitskreis immer grösser wählen. Im Einheitskreis entspricht der Tangens der Länge der Gegenkathete des hellen, grösseren Dreiecks. Jedoch ist das Verhältnis von Gegenkathete…

Sinus und Kosinus Bei der Besprechung der Kosinus-Funktion ist uns schon aufgefallen, dass der Verlauf der Kosinus-Funktion gleich ist, wie der Verlauf der Sinus-Funktion, nur um 90° nach links versetzt. Wir können deshalb sagen, dass wir für eine andere \(x\)-Koordinate, die wir jetzt \(u\) nennen, aus dem Kosinus durchaus einen Sinus erhalten. Die y-Achse startet…

Für die meisten trigonometrischen Gleichungen brauchen wir einfach unseren Taschenrechner. Einfache Taschenrechner liefern uns im Normalfall nur ein Resultat, obwohl es eigentlich unendlich viele Lösungen gibt. Was ist beispielsweise die Lösung der folgenden trigonometrischen Gleichung? \[ \sin(x)=1 \] Du erinnerst dich sicherlich, dass \(\sin(90°)=1\) und somit wäre die Lösung einfach \[ x=90° \] Das stimmt…

Wenn wir im Einheitskreis die Länge eines Bogens \(b\) nehmen, das dem Winkel \(\varphi\) entspricht, dann können wir diese Bogenlänge als Ersatzmass für den Winkel benutzen. Statt die üblichen ° benutzen wir beim Bogenmass die Einheit Radiant benutzen, die mit dem Kürzel rad abgekürzt wird. Schauen wir uns zuerst ein Beispiel an: Der rechte Winkel…

Arkusfunktionen als Umkehrfunktionen Die Arkusfunktionen sind die Umkehrfunktionen der trigonometrischen Funktionen \(\sin(x)\), \(\cos(x)\) und \(\tan(x)\). Die Arkusfunktionen werden manchmal auch zyklometrische Funktionen oder inverse Winkelfunktionen genannt. \[ y=\sin(x) \quad \leftrightarrow \quad x=\arcsin(y) \] \[ y=\cos(x) \quad \leftrightarrow \quad x=\arccos(y) \] \[ y=\tan(x) \quad \leftrightarrow \quad x=\arctan(y) \] Im englischsprachigen Raum, aber auch auf den Tastaturen…

Mit den Additionstheoremen haben wir ein paar wichtige Formeln zur Hand, die uns erlauben, trigonometrische Funktionen umzurechnen. Summe der Quadrate von Sinus und Kosinus Wenn wir uns den Einheitskreis anschauen und einen Punkt A festlegen, idealerweise mit einem nicht allzugrossen Winkel \(\varphi\), dann entspricht der Kosinus der \(x\)-Koordinate und der Sinus der \(y\)-Koordinate von A:…