Eigenschaften von Funktionen

Das Wichtigste in Kürze Wenn eine Funktion aus einem Argument den Funktionswert produziert, dann mach die Umkehrfunktion genau das Umgekehrte: Sie macht aus dem wieder ein :     Weil die Umkehrfunktion die umgekehrte Wirkung einer Funktion hat, ist heben sich Funktion und Umkehrfunktion gegenseitig auf:         Ableitung Umkehrfunktion Wenn die Umkehrfunktion…

Das Wichtigste in Kürze Video (zu diesem Thema gibt es noch kein Video) In diesem Video wird die Theorie erklärt und mit Beispielen illustriert. Um das Video anzusehen, musst du eingeloggt sein. Um das Video anzusehen, brauchst du mehr Eulen. Eulen nachkaufen 🦉 (-3 🦉) Häufigste Fragen Beispiel: TITEL Ich habe mir als Schüler damals…

Wir werden jetzt die etwas umständliche Schreibweise für Funktionen vereinfachen und uns darauf konzentrieren, was die Funktion mit dem Input macht. Statt…     …schreiben wir jetzt eine Funktionsgleichung:     oder einfach     Funktionsgleichungen werden oft abgekürzt geschrieben:     Auf der rechten Seite steht, wie der Funktionswert mit Hilfe des Arguments berechnet…

Die Eigenschaft gerade oder ungerade zu sein, ist nur für wenige Funktionen anwendbar. Die meisten Funktionen sind weder noch. Es ist aber eine wichtige und nützliche Eigenschaft, die wir immer wieder verwenden werden. Deshalb ist es wichtig, diese Eigenschaft zu kennen. Gerade Funktionen sind spiegelsymmetrisch bezüglich der -Achse:     Ungerade Funktionen sind punktsymmetrisch bezüglich…

Eine Funktion ist monoton steigend, wenn sie immer zunimmt oder mindestens gleich bleibt, aber nie abnimmt. Analog gilt eine Funktion als monoton fallend, wenn sie immer nur gleich bleibt oder abnimmt, aber nie zunimmt. Unter streng monoton steigend oder fallend, verstehen wir immer steigend oder fallend und schliessen damit den Fall aus, in welchem die…

Funktionsgraphen, die durch kontinuierliche Punktscharen \textit{ohne} Unterbruch beschrieben werden, heissen stetig. Die Stetigkeit kann an bestimmten Punkten, den sog. Unstetigkeitsstellen, unterbrochen sein: Beispiel Finde die Unstetigkeitsstellen der folgenden Funktion. Um welche Art von Unstetigkeitsstellen handelt es sich?     Wir erhalten die Unstetigkeitsstelle, indem wir das Nennerpolynom null stellen:     Links können mit mit…

Die Funktion weist dem Wert einen Funktionswert zu, den nennen wir und diesen weisen wir zu. Im -Koordinatensystem haben wir eine Zuordnung durch von einem bestimmten Wert auf den Wert :     Wir können das für alle Werte von wiederholen und erhalten dann eine Punkteschar mit den Koordinaten , , etc. Alle Punkte zusammen…

Das Wichtigste in Kürze Verschiebung des Funktionsverlaufs in vertikaler Richtung: Wenn die Original-Funktion umd den Betrag verschoben wird, entsteht die verschobene neue Funktion :     Dabei ist der Graph von um nach oben verschoben. Wenn negativ ist, entsprechend nach unten. Verschiebung des Funktionsverlaufs in horizontaler Richtung: Die Funktion um den Betrag nach rechts verschoben,…

Das Wichtigste in Kürze Streckung des Funktionsverlaufs in vertikaler Richtung: Die Original-Funktion sei . Wir können einen neuen Funktionsgraphen erhalten, der um den Faktor , von der -Achse aus, in vertikaler Richtung gestreckt ist, mit:     Wenn ist, wird die Funktion entsprechend gestaucht. Der Faktor der Stauchung entspricht dem Kehrwert . Stauchung des Funktionsverlaufs…

Lineare Funktionen gehören zwar zu den einfacheren Funktionen. Sie sind aber vermutlich die meist verbreiteten Funktionen überhaupt. Wie der Name sagt, bilden lineare Funktionen Verläufe von geraden Linien. Alle anderen Funktionen werden einfach mit nicht linear bezeichnet, womit ein meist unbekannter, ”gekrümmter” Verlauf gemeint ist. Lineare Grundfunktion Das typische Merkmal der linearen Grundfunktion ist die…

Ausrichtung der Parabel Quadratische Funktionen haben Parabeln als Graphen. Die Parabeln verlaufen, wenn sie ein positives Vorzeichen haben, von zu einem Minimum und wachsen dann wieder an bis . Die Parabeln sind in diesem Fall nach oben offen. Ist das Vorzeichen negativ, ist die Parabel nach unten offen und hat irgendwo ein Maximum. Der Punkt,…

Potenzen mit einem positiven Exponenten, jedoch kleiner als eins, führen zu den Wurzelfunktionen. Wir betrachten hier nur die Wurzelfunktionen mit ganzzahligen Exponenten . Unter einer Wurzelfunktion -ter Ordnung verstehen wir eine Wurzel mit einem ganzzahligen, positiven Exponenten :     Für den Exponenten gilt: und Wurzeln mit geraden Exponenten Dieses Mal diskutieren wir zuerst die…

Das Wichtigste in Kürze Ein Polynom ist die Summe von Potenzen einer Variablen (z.B. ) mit Koeffizienten (Vorfaktoren).     Das ist die übliche Normalform mit absteigender Potenz. Der ganze Ausduck kann auch als Polynomfunktion der Variablen gesehen werden. Der Exponent der grössten vorkommenden Potenz bestimmt den Grad des Polynoms. Das Polynom kann auch geschrieben…

Die Zahlenmenge der Werte, die die Funktion aufnehmen kann, nennen wir Definitionsbereich und die Menge der Zahlen, die die Funktion ausgibt, den Wertebereich . In unserer Analogie umfasst alle Arten von Münzen, die der Automat akzeptiert und enthält alle Produkte des Automaten. Eine Funktion ist eine eindeutige Zuweisung von einem Element aus dem Definitionsbereich zu…

Achsabschnitt Nullstellen und Achsabschnitt sind die Schnittpunkte des Funktionsgraphen mit der x-Achse (Nullstellen) und mit der y-Achse (Achsabschnitt). Wir schauen uns zuerst den Achsabschnitt an. Er ist der Schnittpunkt des Funktionsgraphen mit der -Achse. Die -Achse zeichnet sich dadurch aus, dass die -Werte null sind. Wir erhalten deshalb den Achsabschnitt indem wir für einsetzen. Der…