Integrationsmethoden

Die Integration durch Substitution ähnelt in ihrer Art der Ableitung mit der Kettenregel. Wir schauen uns das an einem Beispiel an: Beispiel Berechne das folgende Integral: \[ \int_0^1 \sqrt{5x+4} \; dx \] Wir sehen, dass wir hier eine Verschachtelung haben. Die äussere Funktion ist die Wurzel, die innere Funktion ist der lineare Ausdruck \(5x+4\). Wir…

Partielle Integration für unbestimmte Integrale Die partielle Integration ist eine praktische Integrationsmethode, die angewendet wird, wenn im Integral ein Produkt von zwei Teilfunktionen stehen. Sie muss manchmal mehrfach hintereinander angewendet werden. Die Methode der partiellen Integration wird angewendet, wenn im Integral ein Produkt von zwei Teilfunktionen \(u\) und \(v’\) steht: \[ \int \underset{\downarrow}{u(x)} \cdot \underset{\uparrow}{v'(x)}…

Gebrochenrationale Funktionen, d.h. Brüche mit einem Polynom im Zähler und einem Polynom im Nenner, sind nicht so einfach zu integrieren. Erstaunlicherweise macht uns v.a. der Zähler Probleme. Integral der einfachen Hyperbelfunktion Die einfache Hyperbelfunktion ist \(f(x)=\frac{1}{x}\). Wir wissen, dass sie die Ableitung des natürlichen Logarithmus ist: \[ \frac{d}{dx} \ln(x) = \frac{1}{x} \] \[ \rightarrow \quad…