Anwendungen Integrale

Bei zeitlich variierenden Grössen, z.B. die Temperatur, ist es von Vorteil sie über eine bestimmte Zeit zu mitteln, z.B. die durchschnittliche Jahrestemperatur. Auf diese Art werden die Schwankungen über die betrachtete Zeitperiode ausgeglichen. Beispiel Die Funktion \(f(t)=A \sin^2(t)\) schwingt zwischen 0 und \(A\). Was ist der Mittelwert \(\overline{f}\) dieser Funktion über die gesamte Zeit? Der…

In vielen Anwendungen ist es besser, das Quadrat des Funktionswerts zu nehmen, als einfach nur den Funktionswert. Nach der Summenbildung korrigieren wir das Quadrieren wieder, indem wir die Wurzel ziehen. Diese Methode wird vor allem in folgenden Fällen angewendet: Wir schauen uns wieder die Zahlenfolge \(f_i\) an, interessieren uns dieses Mal aber für die Quadrate…

Rotation um die x-Achse Wenn wir den Verlauf einer Funktion um die \(x\)-Achse rotieren lassen, entsteht ein Rotationskörper gemäss folgender Abbildung. Mit Hilfe der Integralrechnung lässt sich das Volumen \(V\) dieses Körpers relativ einfach berechnen. Wir betrachten dazu eine unendlich dünne Scheibe (mit der Dicke \(dx\)). Es handelt sich dabei um einen Zylinder mit Radius…