Anwendungen Integrale

Bei zeitlich variierenden Grössen, z.B. die Temperatur, ist es von Vorteil sie über eine bestimmte Zeit zu mitteln, z.B. die durchschnittliche Jahrestemperatur. Auf diese Art werden die Schwankungen über die betrachtete Zeitperiode ausgeglichen. Beispiel Die Funktion schwingt zwischen 0 und . Was ist der Mittelwert dieser Funktion über die gesamte Zeit? Der Mittelwert beschreibt die…

In vielen Anwendungen ist es besser, das Quadrat des Funktionswerts zu nehmen, als einfach nur den Funktionswert. Nach der Summenbildung korrigieren wir das Quadrieren wieder, indem wir die Wurzel ziehen. Diese Methode wird vor allem in folgenden Fällen angewendet: Wir schauen uns wieder die Zahlenfolge an, interessieren uns dieses Mal aber für die Quadrate und…

Rotation um die x-Achse Wenn wir den Verlauf einer Funktion um die -Achse rotieren lassen, entsteht ein Rotationskörper gemäss folgender Abbildung. Mit Hilfe der Integralrechnung lässt sich das Volumen dieses Körpers relativ einfach berechnen. Wir betrachten dazu eine unendlich dünne Scheibe (mit der Dicke ). Es handelt sich dabei um einen Zylinder mit Radius und…

Wir erinnern uns nochmals an die Definition des Schwerpunkts: Er vereint die gesamte Masse und ist so platziert, dass er von überall gesehen das gleiche Drehmoment erzeugt, wie die im Körper verteilte Masse. Eine kleine Teilmasse erzeugt eine kleine Teil-Gewichtskraft . Für den ganzen Körper müssen die Teil-Gewichtskräfte integriert werden und wir erhalten die Gewichtskraft:…

Die Integralrechnung wird in der Physik sehr viel gebraucht. Eine typische Anwendung ist für die Berechnung der physikalischen Arbeit von sich verändernden Kräften. Wir beginnen mit einem sehr einfachen Beispiel, das noch ohne Integral auskommen würde, werden daran aber erkennen, wie nützlich die Integralrechnung für etwas kompliziertere Fälle wird. Wir schauen uns zuerst das Beispiel…