Rechenregeln für Brüche

Addition und Subtraktion von Brüchen

Im idealen Fall, der leider praktisch nie vorkommt (!) sind die Brüche gleichnamig. Die Addition und Subtraktion ist dann besonders einfach:

Wir fokussieren uns auf den Zähler und betrachten den Nenner, als wäre es ein Wort wie “Apfel” oder “Birne”, z.B.

\[ \frac{2}{7} + \frac{5}{7} – \frac{1}{7} \]

Es geht hier ausschliesslich um “Siebtel”. Die Aufgabe lautet demnach: “Wie viel 2 + 5 – 1 Siebtel?”

Natürlich sind das einfach 6 Siebtel, oder eben:

\[ \frac{2}{7} + \frac{5}{7} – \frac{1}{7} \;\;=\;\; \underline{\;\frac{6}{7}\;} \]

Wenn die beiden Brüche aber nicht gleichnamig sind, dürfen wir nicht einfach losrechnen, da wir dann eben “Äpfel” mit “Birnen” durcheinander bringen würden.

Wir müssen alle zuerst mittels Erweitern oder Kürzen gleichnamig machen. Dazu benutzen wir wieder die Methode der Primfaktoren, um das kgV der verschiedenen Nenner zu ermitteln.

Damit die Zähler von Brüchen addiert oder subtrahiert werden können, müssen die Brüche zuerst gleichnamig gemacht werden:

• Die Nenner in ihre Primfaktoren zerlegen
• Das kgV (kleinste gemeinsame Vielfache) ermitteln und als gemeinsamen Nenner wählen
• Die Brüche erweitern oder kürzen, so dass sie den neuen Nenner haben

Sobald die Brüche gleichnamig sind, kann die Addition/Subtraktion ausgeführt werden.

Multiplikation

Multiplikation von Brüchen: Einerseits werden die Zähler miteinander multipliziert und andererseits die Nenner miteinander multipliziert. Das Produkt der Zähler ergibt uns den neuen Zähler. Das Produkt der Nenner liefert den neuen Nenner:

\[ \frac{a_1}{b_1} \cdot \frac{a_2}{b_2} \;\; = \;\; \frac{a_1 \cdot a_2}{b_1 cdot b_2} \]

Division und Doppelbrüche

Wenn wir einen Bruch durch einen anderen Bruch dividieren, schreiben wir als Erstes einmal einen Doppelbruch. Dann multiplizieren wir den Zähler mit dem Kehrbruch des Nenners:

\[ \frac{a_1}{b_1} : \frac{a_2}{b_2} = \frac{\quad \frac{a_1}{b_1} \quad}{\frac{a_2}{b_2}} \]

\[ = \frac{a_1}{b_1} \cdot \frac{b_2}{a_2} = \frac{a_1 \cdot b_2}{b_1 \cdot a_2} \]

Division durch einen Bruch = Multiplikation mit dem Kehrbruch

\[ \frac{\;\;\;…\;\;\;}{…} \;:\; \frac{a}{b} \quad = \quad \frac{\;\;\;…\;\;\;}{…} \;\cdot\; \frac{b}{a} \]