Wellengleichung

Wellen kommen in vielen verschiedenen Formen vor. In ihrer Ausbreitung haben sie viele Gemeinsamkeiten, v.a. dass sie sich mit einer für ihre Natur bestimmten Wellengeschwindigkeit \(c\) fortbewegen.

Die Verwandtschaft der Wellen untereinander wird auch klar, wenn wir ihre Wellenfunktionen anschauen. Egal, um welche Art von Welle es sich handelt, egal ob es sich um eine harmonische Welle handelt oder nicht; alle Wellen haben eine Wellenfunktion und sie erfüllen alle die gleiche Wellengleichung!

Wir überprüfen das am Beispiel der harmonischen Welle:

\[ y(x,t) = A \cdot \sin \big( kx – \omega t \big) \]

Zuerst aber kurz noch eine Bemerkung dazu, warum die harmonische Welle als Spezialfall sehr gut stellvertretend für alle möglichen (auch nicht-harmonischen) Wellen genommen werden kann: Alle anderen Wellen können mit Hilfe der Fourier-Transformation mit einer Summe von harmonischen Wellen ausgedrückt werden.

In anderen Worten: Wenn die Wellengleichung für eine harmonische Welle gilt, dann gilt sie auch für die Summe von zwei oder beliebig mehr harmonischen Wellen. Somit können wir mit einer solchen beliebigen Summe auch eine beliebige Welle “erschaffen” und die Wellengleichung ist immer noch erfüllt.

Für die linke Seite der Wellengleichung brauchen wir die zweifache Ableitung nach dem Ort \(x\):

\[ \frac{\partial}{\partial x} y(x,t) = \frac{\partial}{\partial x} \Big(A \cdot \sin(kx – \omega t) \Big) = k \cdot A \cdot \cos(kx-\omega t) \]

\[ \frac{\partial^2}{\partial x^2} \Big( A \cdot \sin(kx – \omega t) \Big) = -k^2 \cdot \sin(kx – \omega t) \]

\[ \frac{\partial^2}{\partial x^2} y(x,t) = -k^2 \cdot y(x,t) \]

Auf der rechten Seite der Wellengleichung haben wir die zweifache Ableitung nach der Zeit. Wir kriegen analog:

\[ \frac{1}{c^2} \cdot \frac{\partial^2}{\partial x^2} y(x,t) = \frac{1}{c^2} \cdot (-\omega^2) \cdot y(x,t) \]

Hier können wir noch etwas vereinfachen. Wir rechnen die Kreisfrequenz \(\omega\) um in die Frequenz \(f\) mit \(\omega = 2\pi f\) und benutzen die Beziehung zwischen der Wellenlänge \(\lambda\), der Wellengeschwindigkeit \(c\) und der Frequenz \(f\), die ist \(c=\lambda \cdot f\):

\[ \require{cancel} \frac{1}{c^2} \cdot (-\omega^2) = – \frac{1}{\lambda^2 \cancel{f^2}} \cdot (2\pi)^2 \cancel{f^2} = – \Big(\frac{2\pi}{\lambda}\Big)^2 \]

Das entspricht ja der quadrierten Wellenzahl \(k=\frac{2\pi}{\lambda}\). Somit haben wir erhalten:

\[ \frac{1}{c^2} \cdot \frac{\partial^2}{\partial t^2} y(x,t) = -k^2 y(x,t) \]

Die zweifache zeitliche Ableitung (mit dem Vorfaktor) gibt uns das gleiche Resultat, wie die zweifache örtliche Ableitung.

Damit ist gezeigt, dass die Wellengleichung für jede harmonische Welle erfüllt ist. Wie gesagt: Jede nicht-harmonische Welle können wir in eine Summe von harmonischen Wellen unterschiedlicher Frequenzen umformen. Wenn also sämtliche Wellen zu einer Summe von harmonischen Wellen umgeformt werden kann und diese dann alle die Wellengleichung erfüllen, gilt die Wellengleichung wirklich für alle Wellen!