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        Nehmen wir einen Vektor und addieren ihn dreimal, so entsteht das Dreifache des Vektors:

        \[ \vec{a}+\vec{a}+\vec{a} = 3 \cdot \vec{a} \]

        Die Richtung des Vektors \(\vec{a}\) wird beibehalten. Die Länge wird verdreifacht.

        \[ \vec{a}+\vec{a}+\vec{a} = \begin{pmatrix}a_x \\ a_y \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}a_x \\ a_y \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}a_x \\ a_y \end{pmatrix} \]

        \[ = \begin{pmatrix}a_x+a_x+a_x \\ a_y+a_y+a_y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \cdot a_x \\ 3 \cdot a_y \end{pmatrix} \]

        \[ 3 \cdot \vec{a} = \begin{pmatrix} 3 \cdot a_x \\ 3 \cdot a_y \end{pmatrix} \]

        Wir können das jetzt auch verallgemeinern mit dem Faktor \(k\):

        \[ k \cdot \vec{a} = \begin{pmatrix} k \cdot a_x \\ k \cdot a_y \end{pmatrix} \]

        Wird ein Vektor \(\vec{v}\) mit einer Zahl (Skalar) multipliziert, so multipliziert sich jede Komponente des Vektors mit dieser Zahl.

        \[ k \cdot \vec{v} = \begin{pmatrix} k \cdot v_x \\ k \cdot v_y \end{pmatrix} \]

        Der Vektor wird \(k\)-fach verlängert. Ist der Betrag von \(k\) kleiner eins, so wird der Vektor entsprechend verkürzt. Ein negatives \(k\) kehrt die Richtung des Vektors um.

        Beispiel

        Berechne den Vektor \(\vec{w}\), der die gleiche Richtung hat wie \(\;\vec{v} = \begin{pmatrix} 3 \\ -4 \end{pmatrix}\;\), aber die Länge 10 hat.

        Zuerst berechnen wir die Länge von \(\vec{v}\):

        \[ |\vec{v}| = \sqrt{3^2+(-4)^2} \]

        \[ = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \]

        Damit haben wir einen Vektor mit der richtigen Richtung, jedoch mit der Länge 5 statt 10. Wir müssen ihn demnach nur in seiner Länge verdoppeln:

        \[ \vec{w} = 2 \cdot \vec{v} \]

        \[ = 2 \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ -4 \end{pmatrix} = \underline{\begin{pmatrix} 6 \\ -8 \end{pmatrix}} \]

        Multiplizieren wir mit einem negativen Faktor \(k<0\), kehren wir die Richtung um. Mit dem Faktor \(k=(-1)\) erhalten wir den Gegenvektor mit der umgekehrten Richtung, aber gleichen Länge. Mit \(k=(-2)\) wäre die Richtung umgekehrt und die Länge verdoppelt etc.

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        Autor dieses Artikels:

        David John Brunner

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